Question

【題目】定義：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（x，y），若過點(diǎn)Q的直線l與x軸夾角為45°時，則稱直線l為點(diǎn)Q的“湘依直線”．

（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），求點(diǎn)A的“湘依直線”表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣4），過點(diǎn)D的“湘依直線”圖象經(jīng)過第二、三、四象限，且與x軸交于C點(diǎn)，動點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=（x＞0）上，求△PCD面積的最小值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2），經(jīng)過點(diǎn)M且在第一、二、三象限的“湘依直線”與拋物線y=x2+（m﹣2）x+m+2相交與A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，若0≤x1≤2，0≤x2≤2，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=x﹣6或y=﹣x+6；（2）△PCD面積的最小值是24，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，4）；（3）m的取值范圍是1≤m≤3．

【解析】

（1）由“湘依直線”的定義知，直線l與直線y=x或y=﹣x平行．設(shè)點(diǎn)A的“湘依直線”表達(dá)式為：y=x+b或y=﹣x+b，將A（6， 0）代入，得0=6+b，或0=﹣6+b，由此求得b值，即可求點(diǎn)A的“湘依直線”表達(dá)式；（2）先求得過點(diǎn)D的“湘依直線”為y=﹣x﹣4，再求得C點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣4，0），即可得△OCD是等腰直角三角形，所以CD=4．因?yàn)榫�段CD的長度為定值，可知當(dāng)過點(diǎn)P的直線與直線CD垂直時，△PCD面積的最小，由此即可解答；（3）求得過點(diǎn)M的“湘依直線”為y=x+2，把拋物線的解析式和過點(diǎn)M的“湘依直線”聯(lián)立后整理可得x2+（m﹣3）x+m=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可x1+x2=3﹣m，x1x2=m．由0≤x1≤2，0≤x2≤2，可知0≤x1+x2≤4，0≤x1x2≤4且（m﹣3）2﹣4m≥0．由此即可求得m的取值范圍.

由“湘依直線”的定義知，直線l與直線y=x或y=﹣x平行．

（1）設(shè)點(diǎn)A的“湘依直線”表達(dá)式為：y=x+b或y=﹣x+b，

將A（6， 0）代入，得0=6+b，或0=﹣6+b

解得b=﹣6或b=6．

故點(diǎn)A的“湘依直線”表達(dá)式為：y=x﹣6或y=﹣x+6；

（2）∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣4），過點(diǎn)D的“湘依直線”圖象經(jīng)過第二、三、四象限，

∴過點(diǎn)D的“湘依直線”為y=﹣x﹣4，

∴C（﹣4，0），即△OCD是等腰直角三角形，

∴CD=4．

∵線段CD的長度為定值，

∴當(dāng)過點(diǎn)P的直線與直線CD垂直時，△PCD面積的最小，

又∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=（x＞0）圖象上，

∴點(diǎn)P是線段CD的垂直平分線與雙曲線的交點(diǎn)，如圖，

∵直線CD與直線y=﹣x平行，

∴點(diǎn)P在直線y=x上，

故設(shè)P（a，a），

∴a=，

解得a=4（舍去負(fù)值）．

此時P（4，4），

S△PCD=×4×（4+2）=24．

綜上所述，△PCD面積的最小值是24，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，4）；

（3）∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2），過點(diǎn)M的“湘依直線”經(jīng)過第一、二、三象限，

∴過點(diǎn)M的“湘依直線”為y=x+2，

則由題意知，

整理，得x2+（m﹣3）x+m=0

∴x1+x2=3﹣m，x1x2=m．

又0≤x1≤2，0≤x2≤2，

∴0≤x1+x2≤4，0≤x1x2≤4且（m﹣3）2﹣4m≥0．

即0≤3﹣m≤4，0≤m≤4且（m﹣3）2﹣4m≥0．

解得，1≤m≤3．

故m的取值范圍是1≤m≤3．