【題目】定義:在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)Q坐標(biāo)為(x,y),若過點(diǎn)Q的直線l與x軸夾角為45°時,則稱直線l為點(diǎn)Q的“湘依直線”.
(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0),求點(diǎn)A的“湘依直線”表達(dá)式;
(2)已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,﹣4),過點(diǎn)D的“湘依直線”圖象經(jīng)過第二、三、四象限,且與x軸交于C點(diǎn),動點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=(x>0)上,求△PCD面積的最小值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,2),經(jīng)過點(diǎn)M且在第一、二、三象限的“湘依直線”與拋物線y=x2+(m﹣2)x+m+2相交與A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),若0≤x1≤2,0≤x2≤2,求m的取值范圍.
【答案】(1)y=x﹣6或y=﹣x+6;(2)△PCD面積的最小值是24,此時點(diǎn)P的坐標(biāo)是(4,4);(3)m的取值范圍是1≤m≤3.
【解析】
(1)由“湘依直線”的定義知,直線l與直線y=x或y=﹣x平行.設(shè)點(diǎn)A的“湘依直線”表達(dá)式為:y=x+b或y=﹣x+b,將A(6, 0)代入,得0=6+b,或0=﹣6+b,由此求得b值,即可求點(diǎn)A的“湘依直線”表達(dá)式;(2)先求得過點(diǎn)D的“湘依直線”為y=﹣x﹣4,再求得C點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣4,0),即可得△OCD是等腰直角三角形,所以CD=4.因?yàn)榫段CD的長度為定值,可知當(dāng)過點(diǎn)P的直線與直線CD垂直時,△PCD面積的最小,由此即可解答;(3)求得過點(diǎn)M的“湘依直線”為y=x+2,把拋物線的解析式和過點(diǎn)M的“湘依直線”聯(lián)立后整理可得x2+(m﹣3)x+m=0,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可x1+x2=3﹣m,x1x2=m.由0≤x1≤2,0≤x2≤2,可知0≤x1+x2≤4,0≤x1x2≤4且(m﹣3)2﹣4m≥0.由此即可求得m的取值范圍.
由“湘依直線”的定義知,直線l與直線y=x或y=﹣x平行.
(1)設(shè)點(diǎn)A的“湘依直線”表達(dá)式為:y=x+b或y=﹣x+b,
將A(6, 0)代入,得0=6+b,或0=﹣6+b
解得b=﹣6或b=6.
故點(diǎn)A的“湘依直線”表達(dá)式為:y=x﹣6或y=﹣x+6;
(2)∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,﹣4),過點(diǎn)D的“湘依直線”圖象經(jīng)過第二、三、四象限,
∴過點(diǎn)D的“湘依直線”為y=﹣x﹣4,
∴C(﹣4,0),即△OCD是等腰直角三角形,
∴CD=4.
∵線段CD的長度為定值,
∴當(dāng)過點(diǎn)P的直線與直線CD垂直時,△PCD面積的最小,
又∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=(x>0)圖象上,
∴點(diǎn)P是線段CD的垂直平分線與雙曲線的交點(diǎn),如圖,
∵直線CD與直線y=﹣x平行,
∴點(diǎn)P在直線y=x上,
故設(shè)P(a,a),
∴a=,
解得a=4(舍去負(fù)值).
此時P(4,4),
S△PCD=×4×(4+2)=24.
綜上所述,△PCD面積的最小值是24,此時點(diǎn)P的坐標(biāo)是(4,4);
(3)∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,2),過點(diǎn)M的“湘依直線”經(jīng)過第一、二、三象限,
∴過點(diǎn)M的“湘依直線”為y=x+2,
則由題意知,
整理,得x2+(m﹣3)x+m=0
∴x1+x2=3﹣m,x1x2=m.
又0≤x1≤2,0≤x2≤2,
∴0≤x1+x2≤4,0≤x1x2≤4且(m﹣3)2﹣4m≥0.
即0≤3﹣m≤4,0≤m≤4且(m﹣3)2﹣4m≥0.
解得,1≤m≤3.
故m的取值范圍是1≤m≤3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),反比例函數(shù)y=的圖像經(jīng)過A(,1).
(1)求此反比例函數(shù)的解析式;
(2)將線段OA繞O逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段OB,判斷點(diǎn)B是否在此反比例函數(shù)的圖像上并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=AC,點(diǎn)D在直線AB上,連接CD,在CD的右側(cè)作CE⊥CD,CD=CE,
(1)如圖1,①點(diǎn)D在AB邊上,直接寫出線段BE和線段AD的關(guān)系;
(2)如圖2,點(diǎn)D在B右側(cè),BD=1,BE=5,求CE的長.
(3)拓展延伸
如圖3,∠DCE=∠DBE=90,CD=CE,BC=,BE=1,請直接寫出線段EC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把幾個圖形拼成一個新的圖形,再通過圖形面積的計(jì)算,常?梢缘玫揭恍┯杏玫氖阶,或可以求出一些不規(guī)則圖形的面積.
(1)選擇題:圖1是一個長2a、寬2b(a>b)的長方形,用剪刀沿圖中虛線(對稱軸)剪開,把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形.然后,按圖2那樣拼成一個(中間空的)正方形,則中間空的部分面積是( )
A.2ab B.(a+b)2 C.(a﹣b)2 D.a2﹣b2
(2)如圖3,是將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為a+b+c的正方形,試用不同的方法計(jì)算這個圖形的面積.據(jù)此,你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論,請直接寫出來:
(3)如圖4,是將兩個邊長分別為a和b的正方形拼在一起,B、C、G三點(diǎn)在同一直線上,連接BD和BF.若兩個正方形的邊長滿足a+b=10,ab=20,求陰影部分的面積.
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【題目】已知,點(diǎn)是第一象限內(nèi)的點(diǎn),直線交軸于點(diǎn),交軸負(fù)半軸于點(diǎn).連接,.
(1)求的面積;
(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)和的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為弘揚(yáng)中華民族傳統(tǒng)文化,某市舉辦了中小學(xué)生“國學(xué)經(jīng)典大賽”,比賽項(xiàng)目為:A.唐詩;B.宋詞;C.論語;D.三字經(jīng).比賽形式分“單人組”和“雙人組”.
(1)小華參加“單人組”,他從中隨機(jī)抽取一個比賽項(xiàng)目,恰好抽中“論語”的概率是多少?
(2)小明和小紅組成一個小組參加“雙人組”比賽,比賽規(guī)則是:同一小組的兩名隊(duì)員的比賽項(xiàng)目不能相同,且每人只能隨機(jī)抽取一次.則恰好小明抽中“唐詩”且小紅抽中“宋詞”的概率是多少?小明和小紅都沒有抽到“三字經(jīng)”的概率是多少?請用畫樹狀圖或列表的方法進(jìn)行說明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲乙兩名同學(xué)做摸球游戲,他們把三個分別標(biāo)有1,2,3的大小和形狀完全相同的小球放在一個不透明的口袋中.
(1)求從袋中隨機(jī)摸出一球,標(biāo)號是1的概率;
(2)從袋中隨機(jī)摸出一球后放回,搖勻后再隨機(jī)摸出一球,若兩次摸出的球的標(biāo)號之和為偶數(shù)時,則甲勝;若兩次摸出的球的標(biāo)號之和為奇數(shù)時,則乙勝;試分析這個游戲是否公平?請說明理由.
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【題目】如圖,四邊形中,,為的中點(diǎn),連接并延長交的延長線于點(diǎn),連接平分.下列結(jié)論:①;②垂直平分;③;④;其中正確的是_____________.
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