Question

如圖，在等腰直角△ABC中，AD=AE，AF⊥BE交BC于點(diǎn)F，過F作FG⊥CD交BE延長線于G，求證：BG=AF+FG．

Answer 1

證明：過CP∥AB，AF的延長線于P，
易證△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠BAP+∠ABE=90°，∠ACD+∠FMC=90°
∴∠BAP=∠FMC，
又∵AB∥PC，
∴∠BAP=∠P
∴∠FMC=∠P．
∵AF⊥BE，∠BAC=90°，
∵∠BAE=∠ACP=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠PAC+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠PAC，
∵AB=AC，
∴△ABE≌△CAP，
∴BE=AP．
∵CP∥AB，∠ACP=90°，∠ACB=45°，
∴∠MCF=∠PCF=45°，
∵，
∴△MCF≌△PCF，
∴MF=PF，∠P=∠FMC，
又∵∠FMC=∠GME，
∴∠GEM=∠GME，
∴GE=GM，
則BG=BE+EG=AP+MG=AF+FP+MG=AF+FM+MG=AF+FG．
分析：過C作AB的平行線交AF的延長線于P，證明△ABE≌△CAP，△MCF≌△PCF，得BE=AP．MF=PF，EG=MG，即可推出答案．
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生對等腰直角三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是過C作AB的平行線交AF的延長線于P，證明△ABE≌△ACP，△MCF≌△PCF．