Question

【題目】如圖1，在矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，連接，將矩形沿折疊，頂點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處，延長交的延長線于點(diǎn)．

（1）求線段的長；

（2）如圖2，，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且，設(shè)，．

①寫出關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出的最小值；

②是否存在這樣的點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值；②存在．滿足條件的的值為或．

【解析】

由翻折可知：，設(shè)，則在中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．
證明∽，可得，由此即可解決問題．
有兩種情形：如圖中，當(dāng)時(shí)如圖中，當(dāng)時(shí)，作于分別求解即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

∵四邊形是矩形，

∴，，

∴，

由翻折可知：．，設(shè)，則．

在中，，

∴，

在中，則有：，

∴，

∴．

（2）①如圖2中，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

在中，，

在中，，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值．

②存在．有兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)時(shí)，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

如圖3-2中，當(dāng)時(shí)，作于．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

由，可得，

∴，

∴，

∴．

綜上所述，滿足條件的的值為或．