Question

【題目】綜合與實(shí)踐

問題情境

在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“大小不等的兩個(gè)正方形”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖1，現(xiàn)有一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)從對(duì)角線的點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，以為邊在右側(cè)作正方形，邊與射線交于點(diǎn).

操作發(fā)現(xiàn)

（1）點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，判斷線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

實(shí)踐探究

（2）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，某時(shí)刻正方形與正方形重疊的四邊形的面積是，求此時(shí)的長(zhǎng)；

探究拓廣

（3）請(qǐng)借助備用圖2，探究當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)，重合時(shí)，線段，與之間存在的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出.

Answer 1

【答案】（1），理由見解析；（2）；（3）①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，且點(diǎn)與點(diǎn)重合；③當(dāng)時(shí)，

【解析】

（1）首先由正方形的性質(zhì)得出，，，然后判定，進(jìn)而得出，，又由正方形EFGH得出，再由四邊形內(nèi)角和得出，進(jìn)而得出，；

（2）首先過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，得出，然后由對(duì)角線的性質(zhì)得出，，進(jìn)而判定四邊形是正方形，即可判定，然后通過面積的等量代換得出CE，進(jìn)而得出AE.

（3）根據(jù)題意，分三種情況討論即可：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí).

（1）.

理由如下：如圖，連接.

∵是正方形的對(duì)角線，

∴，，.

在和中，

∴.

∴，.

∵四邊形是正方形，

∴.

在四邊形中，.

∵，

∴.

∴.

∴.

（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn).

∴.

∵點(diǎn)是正方形的對(duì)角線上的點(diǎn)，

∴，.

∴四邊形是正方形.

在和中，

∴.

∴.

∴.

∵正方形與正方形重疊的面積是，

∴.解得.

∵正方形的邊長(zhǎng)為6，

∴.

∴.

∴此時(shí)的長(zhǎng)為.

（3）分三種情況：

①當(dāng)時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，且點(diǎn)與點(diǎn)重合；

③當(dāng)時(shí)，.