Question

對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)M＞0，對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足﹣M＜y≤M，則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的邊界值．例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．

（1）分別判斷函數(shù) y=（x＞0）和y=x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，求其邊界值；

（2）若函數(shù)y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的邊界值是2，且這個(gè)函數(shù)的最大值也是2，求b的取值范圍；

（3）將函數(shù) y=x²（﹣1≤x≤m，m≥0）的圖象向下平移m個(gè)單位，得到的函數(shù)的邊界值是t，當(dāng)m在什么范圍時(shí)，滿足≤t≤1？

Answer 1

解：（1）根據(jù)有界函數(shù)的定義知，函數(shù)y=（x＞0）不是有界函數(shù)．

y=x+1（﹣4≤x≤2）是有界函數(shù)．邊界值為：2+1=3；

 

（2）∵函數(shù)y=﹣x+1的圖象是y隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x=a時(shí)，y=﹣a+1=2，則a=﹣1

當(dāng)x=b時(shí)，y=﹣b+1．則，

∴﹣1＜b≤3；

 

（3）若m＞1，函數(shù)向下平移m個(gè)單位后，x=0時(shí)，函數(shù)值小于﹣1，此時(shí)函數(shù)的邊界t≥1，與題意不符，故m≤1．

當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=1 即過(guò)點(diǎn)（﹣1，1）

當(dāng)x=0時(shí)，y_最小=0，即過(guò)點(diǎn)（0，0），

都向下平移m個(gè)單位，則

（﹣1，1﹣m）、（0，﹣m）

≤1﹣m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣，

∴0≤m≤或≤m≤1．