Question

【題目】如圖，矩形中，為中點，過點的直線分別與，交于點，，連接交于點，連接，．若，，則下列結論：

①，；

②；

③四邊形是菱形；

④．

其中正確結論的個數(shù)是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①證明△OBC是等邊三角形，即可得OB=BC，由FO=FC，即可得FB垂直平分OC，①正確；②由FB垂直平分OC，根據(jù)軸對稱的性質可得△FCB≌△FOB，根據(jù)全等三角形的性質可得∠BCF=∠BOF=90°，再證明△FOC≌△EOA，所以FO=EO，即可得OB垂直平分EF，所以△OBF≌△OBE，即△EOB≌△FCB，②錯誤；③證明四邊形DEBF是平行四邊形，再由OB垂直平分EF，根據(jù)線段垂直平分線的性質可得BE=BF，即可得平行四邊形DEBF為菱形，③正確；④由OBF≌△EOB≌△FCB得∠1=∠2=∠3=30°，在Rt△OBE中，可得OE =OB，在Rt△OBM中，可得BM=OB，即可得BM ：OE =3：2，④正確.

①∵矩形ABCD中，O為AC中點，

∴OB=OC，

∵∠COB=60°，

∴△OBC是等邊三角形，

∴OB=BC，

∵FO=FC，

∴FB垂直平分OC，

∴FB⊥OC，OM=CM；

①正確；

②∵FB垂直平分OC，

根據(jù)軸對稱的性質可得△FCB≌△FOB，

∴∠BCF=∠BOF=90°，即OB⊥EF，

∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，

∴△FOC≌△EOA，

∴FO=EO，

∴OB垂直平分EF，

∴△OBF≌△OBE，

∴△EOB≌△FCB，

②錯誤；

③∵△FOC≌△EOA，

∴FC=AE，

∵矩形ABCD，

∴CD=AB，CD∥AB，

∴DF∥EB，DF=EB，

∴四邊形DEBF是平行四邊形，

∵OB垂直平分EF，

∴BE=BF，

∴平行四邊形DEBF為菱形；

③正確；

④由OBF≌△EOB≌△FCB得∠1=∠2=∠3=30°，

在Rt△OBE中，OE =OB，

在Rt△OBM中，BM=OB,

∴BM ：OE =OB：=OB=3：2.

④正確；

所以其中正確結論的個數(shù)為3個；

故選C.