Question

【題目】如圖（1），點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，分別以B，C為直角頂點(diǎn)的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同側(cè)．

（1）AE和ED的數(shù)量關(guān)系為________，AE和ED的位置關(guān)系為________；

（2）在圖（2）中，以點(diǎn)E為位似中心，作△EGF與△EAB位似，點(diǎn)H是BC所在直線上的一點(diǎn)，連接GH，HD，分別得到了圖（2）和圖（3）．

①在圖（2）中，點(diǎn)F在BE上，△EGF與△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中點(diǎn)．

求證：GH=HD，GH⊥HD．

②在圖（3）中，點(diǎn)F在BE的延長(zhǎng)線上，△EGF與△EAB的相似比是k∶1，若BC=2，請(qǐng)直接寫(xiě)出CH的長(zhǎng)為多少時(shí)，恰好使得GH=HD且GH⊥HD（用含k的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】（1）AE=ED，AE⊥ED；（2）①證明見(jiàn)解析；②CH的長(zhǎng)為k．

【解析】

（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出△ABE≌△DCE，進(jìn)而得出AE=ED，AE⊥ED；

（2）①根據(jù)△EGF與△EAB的相似比1：2，得出EH=HC=EC，進(jìn)而得出△HGF≌△DHC，即可求出GH=HD，GH⊥HD；

②根據(jù)恰好使GH=HD且GH⊥HD時(shí)，得出△GFH≌△HCD，進(jìn)而得出CH的長(zhǎng)．

（1）∵點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，分別BC以為直角頂點(diǎn)的△EAB和△EDC均是等腰三角形，
∴BE=EC=DC=AB，∠B=∠C=90°，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE=DE，
∠AEB=∠DEC=45°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥ED．
故答案為：AE=ED，AE⊥ED；

（2）①由題意，∠B=∠C=90°，AB=BE=EC=DC，
∵△EGF與△EAB的相似比1：2，
∴∠GFE=∠B=90°，GF=AB，EF=EB，
∴∠GFE=∠C，
∴EH=HC=EC，
∴GF=HC，F(xiàn)H=FE+EH=EB+EC=BC=EC=CD，
∴△HGF≌△DHC．
∴GH=HD，∠GHF=∠HDC．
∵∠HDC+∠DHC=90°．
∴∠GHF+∠DHC=90°
∴∠GHD=90°．
∴GH⊥HD．

②根據(jù)題意得出：∵當(dāng)GH=HD，GH⊥HD時(shí)，
∴∠FHG+∠DHC=90°，
∵∠FHG+∠FGH=90°，
∴∠FGH=∠DHC，
∴，
∴△GFH≌△HCD，
∴CH=FG，
∵EF=FG，
∴EF=CH，
∵△EGF與△EAB的相似比是k：1，BC=2，
∴BE=EC=1，
∴EF=k，
∴CH的長(zhǎng)為k．