Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O外一點，連接OC交⊙O于點D，連接BD并延長交線段AC于點E，∠CDE＝∠CAD．

（1）求證：CD2＝ACEC；

（2）判斷AC與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（3）若AE＝EC，求tanB的值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3).

【解析】

（1）根據(jù)相似三角形的判定證明△CDE∽△CAD，再根據(jù)相似三角形的性質定理即可證明；

（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，再利用等量代換得到∠B=∠CAD，進而得到∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠B+∠BAD=90°，即可得證；

（3）根據(jù)（1）與題意得到CD=CE，利用相似三角形的性質與等量代換可得tanB=tan∠CAD=．

（1）證明：∵∠CDE=∠CAD，∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴，
∴CD2=CACE；
（2）AC與⊙O相切，
證明：∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠B=90°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵∠ODB=∠CDE，∠CDE=∠CAD，
∴∠B=∠CAD，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠B+∠BAD=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC與⊙O相切；
（3）解：∵AE=EC，
∴CD2=CACE=（AE+CE）CE=2CE2，
∴CD=CE，
∵△CDE∽△CAD，
∴，
∵∠ADE=180°-∠ADB=90°，∠B=∠CAD，
∴tanB=tan∠CAD=．