Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，且點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，且AB：AC=1：2．

（1）求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線CB運(yùn)動(dòng)，連接AM，設(shè)△ABM的面積為S，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）點(diǎn)P是y軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（1，0），C（-3，0）；（2）s=2-t（0≤t＜2）；s==t-2（t＞2）；(3) Q坐標(biāo)為（1，2）、（1，-2）、（1，）、（-1，0）．

【解析】

（1）由直線解析式容易求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由勾股定理求出AB，再求出AC、得出OC，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）先求出∠ABC=90°，分兩種情況考慮：當(dāng)M在線段BC上；當(dāng)M在線段BC延長(zhǎng)線上；表示出BM，利用三角形面積公式分別表示出S與t的函數(shù)關(guān)系式即可；

（3）點(diǎn)P是y軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，分兩種情況，利用菱形的性質(zhì)求出AQ的長(zhǎng)，根據(jù)AQ與y軸平行得到Q與A橫坐標(biāo)相同，求出滿足題意Q得坐標(biāo)即可．

（1）對(duì)于直線y=-x+，當(dāng)y=0時(shí)，-x+=0，

解得：x=1，

∴A的坐標(biāo)為（1，0），

∴OA=1；

當(dāng)x=0時(shí)，y=，

∴B（0，），

∴OB=；

∵∠AOB=90°，

∴AB==2，

∵AB：AC=1：2，

∴AC=4，

∴OC=3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，0）；

（2）如圖1所示：

∵OA=1，OB=，AB=2，

∴∠ABO=30°，

同理：BC=2，∠OCB=30°，

∴∠OBC=60°，

∴∠ABC=90°，

分兩種情況考慮：①若M在線段BC上時(shí)，BC=2，CM=t，則BM=BC-CM=2-t，

此時(shí)S△ABM=BMAB=×（2-t）×2=2-t（0≤t＜2）；

②若M在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，BC=2，CM=t，則BM=CM-BC=t-2，

此時(shí)S△ABM=BMAB=×（t-2）×2=t-2（t＞2）；

（3）P是y軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使以 A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，

當(dāng)P在y軸正半軸上，四邊形ABPQ為菱形時(shí)，

①如圖2所示：AQ=AB=2，且Q與A的橫坐標(biāo)相同，

此時(shí)Q坐標(biāo)為（1，2）；

②如圖3所示：AP=AQ=，Q與A的橫坐標(biāo)相同，

此時(shí)Q坐標(biāo)為（1，）；

當(dāng)P在y軸負(fù)半軸上，四邊形ABPQ為菱形時(shí)，

①如圖4所示：AQ=AB=2，且Q與A橫坐標(biāo)相同，

此時(shí)Q坐標(biāo)為（1，-2）；

②如圖5所示：BP垂直平分AQ，

此時(shí)Q坐標(biāo)為（-1，0），

綜上所述：滿足題意Q坐標(biāo)為（1，2）、（1，-2）、（1，）、（-1，0）．