Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BE是弦，點D是弦BE上一點，連接OD并延長交⊙O于點C，連接BC，過點D作FD⊥OC交⊙O的切線EF于點F．

（1）求證：∠CBE＝∠F；

（2）若⊙O的半徑是2，點D是OC中點，∠CBE＝15°，求線段EF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

(1)連接OE交DF于點H，由切線的性質(zhì)得出∠F+∠EHF =90，由FD⊥OC得出∠DOH+∠DHO =90，依據(jù)對頂角的定義得出∠EHF＝∠DHO，從而求得∠F=∠DOH，依據(jù)∠CBE=∠DOH，從而即可得證；

(2)依據(jù)圓周角定理及其推論得出∠F=∠COE＝2∠CBE =30°，求出OD的值，利用銳角三角函數(shù)的定義求出OH的值，進一步求得HE的值，利用銳角三角函數(shù)的定義進一步求得EF的值．

（1）證明：連接OE交DF于點H，

∵EF是⊙O的切線，OE是⊙O的半徑，

∴OE⊥EF．

∴∠F+∠EHF＝90°．

∵FD⊥OC，

∴∠DOH+∠DHO＝90°．

∵∠EHF＝∠DHO，

∴∠F＝∠DOH．

∵∠CBE＝∠DOH，

∴

（2）解：∵∠CBE＝15°，

∴∠F＝∠COE＝2∠CBE＝30°．

∵⊙O的半徑是，點D是OC中點，

∴．

在Rt△ODH中，cos∠DOH＝，

∴OH＝2．

∴．

在Rt△FEH中，

∴