Question

【題目】如圖，P是正方形ABCD邊BC上的一點(diǎn)，且BP=3PC，Q是CD中點(diǎn)．

（1）求證：△ADQ∽△QCP．

（2）試問：AQ與PQ有什么關(guān)系（位置與數(shù)量）？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AQ=2PQ，且AQ⊥PQ．理由見解析

【解析】分析：（1）在所要求證的兩個(gè)三角形中，已知的等量條件為：∠D=∠C=90°，若證明兩三角形相似，可證兩個(gè)三角形的對應(yīng)直角邊成比例；

（2）AQ=2PQ，且AQ⊥PQ．根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求得AQ與PQ的數(shù)量關(guān)系；根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等即可證得AQ與PQ的位置關(guān)系．

詳解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠C=∠D=90°；

又∵Q是CD中點(diǎn)，∴CQ=DQ=AD；

∵BP=3PC，∴CP=AD，∴==．

又∵∠C=∠D=90°，∴△ADQ∽△QCP；

（2）AQ=2PQ，且AQ⊥PQ．理由如下：

由（1）知，△ADQ∽△QCP，==，則===，AQ=2PQ；

∵△ADQ∽△QCP，∴∠AQD=∠QPC，∠DAQ=∠PQC，

∴∠PQC+∠DQA=DAQ+AQD=90°，∴AQ⊥QP．