Question

【題目】如圖，、分別是邊長(zhǎng)為的等邊的邊，上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從頂點(diǎn)，點(diǎn)從頂點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別沿，邊運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到點(diǎn)停止，點(diǎn)到點(diǎn)停止.社運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，他們的速度都為.

（1）連接，相交于，在點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的大小是否變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，求出它的度數(shù)；

（2）當(dāng)取何值時(shí)，是直角三角形.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可證明△APC≌△BQA，則可求得∠BAQ=∠ACP，再利用三角形外角的性質(zhì)可證得∠CMQ=60°；
（2）可用t分別表示出BP和BQ，分∠BPQ=90°和∠BPQ=90°兩種情況，分別利用直角三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，則可求得t的值；

（1）∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠B=∠PAC=60°，
∵點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，
∴AP=BQ，
在△APC和△BQA中，
∴△APC≌△BQA（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACP=∠BAQ+∠CAQ=∠BAC=60°，
∴在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CMQ不變，∠CMQ=60°；
（2）∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，則AP=BQ=t，
∴PB=4-t，
①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，
∴4-t=2t，解得，
②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴BQ=2PB，
∴t=2（4-t），解得，
∴當(dāng)t為s或s時(shí)，△PBQ為直角三角形；