Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于（2，0）、（1，0），與y軸交于C，直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且平行于x軸，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，將直線l1向下平移t個(gè)單位得到直線l2，l2與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．

（1）求拋物線解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)t=2時(shí)，探究△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M（m，0）在x軸上自由運(yùn)動(dòng)，過(guò)M作MN⊥x軸，交直線BC于P，交拋物線于N，若三個(gè)點(diǎn)M、N、P中恰有一個(gè)點(diǎn)是其他兩個(gè)點(diǎn)連線段的中點(diǎn)（三點(diǎn)重合除外），則稱(chēng)M、N、P三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出使得M、P、N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”的m的值．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣1）；（2）△ABC為直角三角形，理由見(jiàn)解析；（3）使得M、P、N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”的m的值為或或或．

【解析】

（1）由點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）由t和點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出直線l2為y＝3，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出AB、AC、BC的值，由AC2＋BC2＝AB2可得出△ABC為直角三角形；

（3）由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，由點(diǎn)M的坐標(biāo)可得出點(diǎn)N、P的坐標(biāo)，分點(diǎn)M為中點(diǎn)、點(diǎn)N為中點(diǎn)及點(diǎn)P為中點(diǎn)三種情況找出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．

（1）將（2，0）、（1，0）代入y=﹣x2+bx+c，得：

，解得：，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x﹣1．

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2+x﹣1=﹣1，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣1）．

（2）△ABC為直角三角形，理由如下：

∵t=2，直線l1：y=﹣1，

∴直線l2：y=﹣3．

當(dāng)y=﹣3時(shí)，﹣x2+x﹣1=﹣3，

解得：x1=﹣1，x2=4，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，﹣3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，﹣3）．

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣1），

∴AC=，BC=，AB=5．

∵AC2+BC2=25=AB2，

∴∠ACB=90°，

∴△ABC為直角三角形．

（3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+d（k≠0），

將B（4，﹣3）、C（0，﹣1）代入y=kx+d，得：

，解得：，

∴直線BC的解析式為y=﹣x﹣1．

∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，﹣m2+m﹣1），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m﹣1）．

①當(dāng)點(diǎn)M為中點(diǎn)時(shí)，有﹣m2+m﹣1﹣0=0﹣（﹣m﹣1），

整理得：m2﹣2m+4=0，

∵△=（﹣2）2﹣4×1×4=﹣12＜0，

∴該情況不存在；

②當(dāng)點(diǎn)N為中點(diǎn)時(shí)，有0﹣（﹣m2+m﹣1）=﹣m2+m﹣1﹣（﹣m﹣1），

整理得：2m2﹣7m+2=0，

解得：m1=，m2=；

③當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，有0﹣（﹣m﹣1）=﹣m﹣1﹣（﹣m2+m﹣1），

整理得：m2﹣5m﹣2=0，

解得：m3=，m4=．

綜上所述：使得M、P、N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”的m的值為或或或．