【題目】已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A43),頂點為B,對稱軸是直線x2

1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點B的坐標(biāo);

2)如圖1,拋物線與y軸交于點C,連接AC,過AADx軸于點D,E是線段AC上的動點(點E不與AC兩點重合);

i)若直線BE將四邊形ACOD分成面積比為13的兩部分,求點E的坐標(biāo);

ii)如圖2,連接DE,作矩形DEFG,在點E的運動過程中,是否存在點G落在y軸上的同時點F恰好落在拋物線上?若存在,求出此時AE的長;若不存在,請說明理由.

【答案】1y=﹣x2+x+3,頂點B的坐標(biāo)為(2,4);(2)(i)點E的坐標(biāo)為(3)或(,3);(ii)存在;當(dāng)點G落在y軸上的同時點F恰好落在拋物線上,此時AE的長為

【解析】

1)由題意得出,解得,得出拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:y=﹣x2+x+3=﹣x22+4,即可得出頂點B的坐標(biāo)為(2,4);

2)(i)求出C0,3),設(shè)點E的坐標(biāo)為(m3),求出直線BE的函數(shù)表達(dá)式為:yx+,則點M的坐標(biāo)為(4m60),由題意得出OC3,AC4,OM4m6,CEm,則S矩形ACOD12,S梯形ECOM,分兩種情況求出m的值即可;

ii)過點FFNACN,則NFCG,設(shè)點F的坐標(biāo)為:(a,﹣a2+a+3),則NF3﹣(﹣a2+a+3)=a2a,NC=﹣a,證△EFN≌△DGOASA),得出NEODAC4,則AENC=﹣a,證△ENF∽△DAE,得出,求出a=﹣0,當(dāng)a0時,點E與點A重合,舍去,得出AENC=﹣a,即可得出結(jié)論.

1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A4,3),對稱軸是直線x2,

解得

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:y=﹣x2+x+3,

y=﹣x2+x+3=﹣x22+4,

∴頂點B的坐標(biāo)為(2,4);

2)(i)∵y=﹣x2+x+3,

x0時,y3,

C點的坐標(biāo)為(0,3),

A43),

ACOD,

ADx,

∴四邊形ACOD是矩形,

設(shè)點E的坐標(biāo)為(m,3),直線BE的函數(shù)表達(dá)式為:ykx+n,直線BEx軸于點M,如圖1所示:

解得: ,

∴直線BE的函數(shù)表達(dá)式為:yx+,

令:yx+0,則x4m6,

∴點M的坐標(biāo)為(4m60),

∵直線BE將四邊形ACOD分成面積比為13的兩部分,

∴點M在線段OD上,點M不與點O重合,

C0,3),A43),M4m6,0),Em,3),

OC3,AC4,OM4m6,CEm,

S矩形ACODOCAC3×412,

S梯形ECOMOM+ECOC4m6+m)×3,

分兩種情況:

,即,

解得:m

∴點E的坐標(biāo)為:(,3);

,即

解得:m,

∴點E的坐標(biāo)為:(3);

綜上所述,點E的坐標(biāo)為:(,3)或(3);

ii)存在點G落在y軸上的同時點F恰好落在拋物線上;理由如下:

由題意得:滿足條件的矩形DEFG在直線AC的下方,

過點FFNACN,則NFCG,如圖2所示:

設(shè)點F的坐標(biāo)為:(a,﹣a2+a+3),

NF3﹣(﹣a2+a+3)=a2a,NC=﹣a,

∵四邊形DEFG與四邊形ACOD都是矩形,

∴∠DAE=∠DEF=∠N90°,EFDG,EFDG,ACOD

∴∠NEF=∠ODG,∠EMC=∠DGO,

NFCG

∴∠EMC=∠EFN,

∴∠EFN=∠DGO,

在△EFN和△DGO中,NEF=ODG,EF=DG,EFN=DGO,

∴△EFN≌△DGOASA),

NE=/span>ODAC4

ACCENECE,即AENC=﹣a

∵∠DAE=∠DEF=∠N90°,

∴∠NEF+EFN90°,∠NEF+DEA90°,

∴∠EFN=∠DEA,

∴△ENF∽△DAE

,即

整理得:a2+a0

解得:a=﹣0,

當(dāng)a0時,點E與點A重合,

a0舍去,

AENC=﹣a

∴當(dāng)點G落在y軸上的同時點F恰好落在拋物線上,此時AE的長為

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,拋物線y=x2+bx2x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,且A(一1,0).

1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo);

2)判斷△ABC的形狀,證明你的結(jié)論;

3)點Mx軸上的一個動點,當(dāng)△DCM的周長最小時,求點M的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標(biāo)A(﹣1,3),與x軸的一個交點B(﹣4,0),直線y2=mx+n(m≠0)與拋物線交于A,B兩點,下列結(jié)論:①2a﹣b=0;abc<0;③拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)是(3,0);④方程ax2+bx+c﹣3=0有兩個相等的實數(shù)根;⑤當(dāng)﹣4<x<﹣1時,則y2<y1

其中正確的是(  )

A. ①②③ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ②③④

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,C是半圓O上一點(不與點A、B重合),D的中點,DEAB于點E,過點C作半圓O的切線,交ED的延長線于點F

1)求證:∠FCD=∠ADE;

2)填空:

①當(dāng)∠FCD的度數(shù)為   時,四邊形OADC是菱形;

②若AB2,當(dāng)CFAB時,DF的長為   

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】關(guān)于x3ax22ax+a210只有一個實數(shù)根,則a的取值范圍是_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,ACBC4,∠C90°,DBC邊上一點,且CD3BD,連接AD,把△ACD沿AD翻折,得到△ADC',DC′AB交于點E,連接BC′,則△BDC'的面積為(

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】5G網(wǎng)絡(luò),是最新一代蜂窩移動通信技術(shù),其數(shù)據(jù)傳輸速率遠(yuǎn)高于以前的蜂窩網(wǎng)絡(luò),最高可達(dá)10Gbit/s,比4G100倍.5G手機(jī)也成為生活、工作不可缺少的移動設(shè)備,某電商公司銷售兩種5G手機(jī),已知售出5A型手機(jī),3B型手機(jī)的銷售額為51000元;售出3A型手機(jī),2B型手機(jī)的銷售額為31500元.

1)求A型手機(jī)和B型手機(jī)的售價分別是多少元;

2)該電商公司在3月實行滿減促銷活動,活動方案為:單部手機(jī)滿3000元減500元,滿5000元減1500元(每部手機(jī)只能參加最高滿減活動),結(jié)果3A型手機(jī)的銷量是B型手機(jī)的,4月該電商公司加大促銷活動力度,每部A型手機(jī)按照3月滿減后的售價再降a%,銷量比3月增加2a%;每部B型手機(jī)按照滿減后的售價再降a%,銷量比3月銷量增加a%,結(jié)果4月的銷售總額比3月的銷售總額多a%,求a的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為滿足市場需求,某超市在中秋節(jié)來臨前夕,購進(jìn)一種品牌月餅,每盒進(jìn)價是40元,超市規(guī)定每盒售價不得少于45元,根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn):當(dāng)售價定為每盒45元時,每天可以賣出700盒,每盒售價每提高1元,每天要少賣出20盒.

1)請寫出每天的銷售利潤(元)與每盒漲價(元)之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍;

2)當(dāng)每盒漲價為多少元時,每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?

3)如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=3.點E在線段BA上從B點以每秒1個單位的速度出發(fā)向A點運動,F(xiàn)是射線CD上一動點,在點E、F運動的過程中始終保持EF=5,CF>BE,點PEF的中點,連接AP.設(shè)點E運動時間為ts

(1)在點E、F運動的過程中,AP的長度存在一個最小值,當(dāng)AP的長度取得最小值時,點P的位置應(yīng)該在

(2)當(dāng)AP⊥EF時,求出此時t的值

(3)以P為圓心作⊙P,當(dāng)P與矩形ABCD三邊所在直線都相切時,求出此時t的值,并指出此時P的半徑長.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案