Question

【題目】已知拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，直線CD與x軸交于點(diǎn)E．

（1）求A、B的坐標(biāo)；

（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）過線段OB的中點(diǎn)N作x軸的垂線并交直線CD于點(diǎn)F，則直線NF上是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)M到直線CD的距離等于點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)(-1，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)(3，0)；（2）(-3，0)；（3）存在，(，)或(，)

【解析】

（1）拋物線y=-x2+2x+3與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是方程-x2+2x+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）先根據(jù)二次函數(shù)表達(dá)式算出點(diǎn)C與頂點(diǎn)D，再用待定系數(shù)法算出直線CD的解析式，最后算出點(diǎn)E坐標(biāo)即可；

（3）存在滿足條件的點(diǎn)M（，m），過點(diǎn)M作MQ⊥CD于Q，連接OM，先證明Rt△FQM∽Rt△FNE，再利用相似的性質(zhì)得到關(guān)于m的方程，解方程即可．

解：（1）由y=0得-x2+2x+3=0，

解得x1=-1，x2=3，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)（3，0）

（2）由y=-x2+2x+3，令x=0，得y=3，

∴C（0，3）

又∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

得D（1，4）

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，得

，

解得：，

∴直線CD的解析式為y=x+3

∴E（-3，0）

（3）存在．

由（1）（2）得，E（-3，0），N（，0）

∴F（， ），EN=，

設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M（，m），作MQ⊥CD于Q，則

FM=， EF=， MQ=OM=

由題意得：Rt△FQM∽Rt△FNE，

∴，

∴4m2+36m-63=0，

∴m1= ，m2=，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M1(，)，M2（，）