Question

拋物線T：y=（x-2a）²+（a-1）（a為常數(shù)），當(dāng)a取不同的值時(shí)，頂點(diǎn)在不同的位置，其圖象構(gòu)成“拋物線系”．
（1）拋物線T：y=x²+4x+4是否屬于這個(gè)拋物線系？
（2）設(shè)拋物線T₁與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)C在x軸上，若拋物線T₂：y=（x-2a）²+（a-1）（a＜1）的頂點(diǎn)B到C的距離為2

5

，T₂與y軸交于點(diǎn)D，在拋物線T₁上是否存在點(diǎn)E，使四邊形BCED為菱形？若存在．求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）在（2）中E不變的條件下，設(shè)拋物線T₂向上平移得到拋物線T₃，設(shè)拋物線T₃與y軸交于點(diǎn)F，拋物線T₂向上平移多少個(gè)單位，可使得∠FEC=45°？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）先求出拋物線T的頂點(diǎn)坐標(biāo)所在的直線，然后求出拋物線y=x²+4x+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線解析式驗(yàn)證即可進(jìn)行判斷；
（2）根據(jù)x軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0求出a的值，從而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而得到拋物線T₂的解析式并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用勾股定理列式求出BC=BD，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，過(guò)點(diǎn)C作CE∥BD相交于點(diǎn)E，然后求出直線DE、CE的解析式，聯(lián)立求解得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，再代入拋物線T₁進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（3）連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于G，可得四邊形AEGO是正方形，延長(zhǎng)EC交y軸于點(diǎn)H，連接OE，根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠FOE=45°，從而得到∠FOE=∠FEC，然后利用兩組角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似求出△FEO和△FHO相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出EF²=FO•FH，設(shè)FO=m，根據(jù)勾股定理表示出EF²，然后列出方程求解得到m，再求出FD的長(zhǎng)度，即可得到平移距離．

解答：解：（1）設(shè)拋物線y=（x-2a）²+（a-1）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
則

x=2a y=a-1

，
消掉a得，y=

1

2

x-1，
∵y=x²+4x+4=（x+2）²，
∴y=x²+4x+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），
當(dāng)x=-2時(shí)，y=

1

2

×（-2）-1=-2≠0，
∴y=x²+4x+4不屬于這個(gè)拋物線系；

（2）∵頂點(diǎn)C在x軸上，
∴a-1=0，
解得a=1，
∴C（2，0），
設(shè)點(diǎn)B（x，

1

2

x-1），
∵BC=2

5

，
∴（x-2）²+（

1

2

x-1）²=（2

5

）²，
整理得，x²-4x-12=0，
解得x₁=-2，x₂=6（舍去），
∴點(diǎn)B（-2，-2），
∴T₂：y=（x+2）²-2，
令x=0，則y=（0+2）²-2=2，
∴點(diǎn)D（0，2），
∴BD=

(-2-0)2+(-2-2)2

=2

5

，
∴BC=BD，
過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，過(guò)點(diǎn)C作CE∥BD相交于點(diǎn)E，
易求直線DE的解析式為y=

1

2

x+2，
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
則

-2k+b=-2 b=2

，
解得

k=2 b=2

，
∴直線BD的解析式為y=2x+2，
易求直線CE的解析式為y=2x-4，
聯(lián)立

y= 1 2 x+2 y=2x-4

，
解得

x=4 y=4

，
∴四邊形BCED為菱形時(shí)點(diǎn)E（4，4），
當(dāng)x=4時(shí)，T₁：y=（4-2）²=4，
∴點(diǎn)E（4，4）在拋物線T₁上，
故，拋物線T₁上存在點(diǎn)E（4，4），使四邊形BCED為菱形；

（3）連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于G，
∵E（4，4），
∴四邊形AEGO是正方形，
延長(zhǎng)EC交y軸于點(diǎn)H，連接OE，
則∠FOE=45°，
∴∠FOE=∠FEC，
又∵∠EFO=∠HFE，
∴△FEO∽△FHO，
∴

EF

HF

=

FO

EF

，
∴EF²=FO•FH，
設(shè)FO=m，則AF=4-m，
由勾股定理得，EF²=（4-m）²+4²，
∴（4-m）²+4²=m（m+4），
解得m=

8

3

，
∴向上平移

8

3

-2=

2

3

個(gè)單位．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解，菱形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判頂與性質(zhì)，（2）根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出菱形的頂點(diǎn)E的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，（3）難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出相似三角形．