Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+2x+c經過A（﹣1，0），B兩點，且與y軸交于點C（0，3），拋物線與直線y＝﹣x﹣1交于A，E兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）坐標軸上是否存在一點Q，使得△AQE是以AE為底邊的等腰三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

（3）P點在x軸上且位于點B的左側，若以P，B，C為頂點的三角形與△ABE相似，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在；Q1（4，0），Q2（0，﹣4）；（3）（，0）或（﹣，0）．

【解析】

（1）將A、C的坐標代入y＝ax2+2x+c求出a、c即可得到解析式；

（2）聯(lián)立方程組求出E點坐標，分Q在x軸和y軸上兩種情況討論，分別根據(jù)QA2＝QE2求出坐標即可；

（3）過點E作EH⊥x軸于點H，根據(jù)點E的坐標，分別求出AH＝EH＝5，AE＝5，∠BAE＝45°，以及OB＝OC＝3，∠ABC＝45°，AB＝4，BC=3，所以只可能存在△PBC∽△BAE和△PBC∽△EAB兩種情況，利用相似三角形對應邊成比例即可求得點P的坐標．

解：（1）將A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c，

得，

解得，，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3，

故答案為：y＝﹣x2+2x+3．

（2）存在．

聯(lián)立，

解得，或，

∴E（4，﹣5），

如圖1，當點Q在x軸上時，設Q（m，0），

∵AE為底邊，

∴QA＝QE，

∴QA2＝QE2，

即（m+1）2＝52+（m﹣4）2，

解得，m＝4，

∴Q1（4，0）；

當點Q在y軸上時，設Q（0，n），

∵AE為底邊，

∴QA＝QE，

∴QA2＝QE2，

即n2+12＝42+（n+5）2，

解得，n＝﹣4，

∴Q2（0，﹣4），

綜上所述，Q1（4，0），Q2（0，﹣4），

故答案為：存在；Q1（4，0），Q2（0，﹣4）

（3）如圖2，過點E作EH⊥x軸于點H，

∵A（﹣1，0），E（4，﹣5），

∴AH＝EH＝5，AE＝＝5，∠BAE＝45°，

又OB＝OC＝3，

∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝＝3，

設P（t，0），則BP＝3﹣t，

∵∠BAE＝∠ABC＝45°，

∴只可能存在△PBC∽△BAE和△PBC∽△EAB兩種情況，

當△PBC∽△BAE時，，

∴＝，

∴t＝，

∴P1（，0）；

當△PBC∽△EAB時，，

∴＝，

∴t＝﹣，

∴P2（﹣，0），

綜上所述，點P的坐標為（，0）或（﹣，0），

故答案為：（，0）或（﹣，0）．