【題目】如圖,AB=4,C為射線BA上一動點,以BC為邊向上作正三角形BCD,⊙O過A、C、D三點,E為⊙O上一點,滿足AD=ED,直線CE交直線AD于F.
(1)求證:CE∥BD;
(2)設(shè)CF=a,若C在線段AB上運動.
①求點E運動的路徑長;
②求a的范圍;
(3)若AC=1,求 tan∠DEC.
【答案】(1)證明見解析;(2)①4;②0≤a≤1;(3)或;
【解析】
(1)連接AE,證△ADE為等邊三角形即可得到∠ECD=∠CDB=60°,則有CE∥BD.
(2) ①首先分析E點的運動軌跡是在于AB平行且距離為2的直線上,再進行計算;
②設(shè)CB的長為x(0<x<4),通過證明,得到用含x的式子表示a,從而求出a的取值范圍.
(3)分兩種情況討論:點C在線段AB上和在A點的左邊兩種情況分別進行計算求解.
解:(1)連接AE
∵三角形BCD是等邊三角形,
∴∠B=∠BCD=∠BDC=60°.
∵四邊形ACDE是圓O的內(nèi)接四邊形,
∴∠AED+∠ACD=180°.
又∵∠ACD+∠BCD=180°,
∴∠AED=∠BCD=60°.
∵AD=AE,
∴三角形ADE是等邊三角形.
∴∠EAD=60°,
∴∠EAD=∠ECD=∠CDB=60°.
∴CE∥BD;
(2) ①∵∠EDA=∠CDB=60°,
∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC,即∠EDC=∠ADB.
又∵ED=AD,CD=DB,
∴.
∴EC=AB=4.
過點E作EG⊥AB于點G,在直角三角形CFE中,∠ECA=60°,∴EG=EC=2
∴點E的運動軌跡為于AB平行且距離為2的直線上.
所以點C在A時,得到點E1, 點C在B時,得到點E2,∴四邊形E1ACE2是平行四邊形,
所以E1E2=AB=4.
∴E的運動路徑長為4.
②設(shè)CB的長為x(0<x<4),則AC=4-x,BD=CB=x.
∵CE∥BD,
∴
∴=,∴=.
∴a=-+x=-(x-2)2+1.
當x=2時,a有最大值為1;
當x=0時,a有最小值0.
∴0≤a≤1.
(3)當C在AB之間時,過點D作DH⊥AB與點H,則AC=1,BC=BD=3.
∴BH=BC=,DH=BD=.
∴AH=AB-BH=.
∴tan∠DEC=tan∠DAH==.
當C在A的左邊時,同理可以求得tan∠DEC=tan∠DAH=.
∴tan∠DEC的值為或;
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)《居民家庭親子閱讀消費調(diào)查報告》中的相關(guān)數(shù)據(jù)制成扇形統(tǒng)計圖,由圖可知,下列說法錯誤的是( )
A.扇形統(tǒng)計圖能反映各部分在總體中所占的百分比
B.每天閱讀30分鐘以上的居民家庭孩子超過50%
C.每天閱讀1小時以上的居民家庭孩子占20%
D.每天閱讀30分鐘至1小時的居民家庭孩子對應(yīng)扇形的圓心角是108°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),某學(xué)校開展了“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”競賽活動.九年級名學(xué)生參加了競賽,結(jié)果所有學(xué)生成績都不低于分(滿分分).為了了解成績分布情況,學(xué)校隨機抽取了部分學(xué)生的成績進行統(tǒng)計,得到如下不完整的統(tǒng)計表,根據(jù)表中所給信息,解答下列問題:
成績(分)分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
表中___ _ _ , _;
這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在_____ _范圍內(nèi);
若成績不小于分為優(yōu)秀,請估計九年級大約有多少名學(xué)生獲得優(yōu)秀成績?
競賽中有這樣一道題目: 如圖,有兩個轉(zhuǎn)盤在每個轉(zhuǎn)盤各自的兩個扇形區(qū)域中分別標有數(shù)字1,2,分別轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,若事件“指針都落在標有數(shù)字的扇形區(qū)域內(nèi)”概率是,則轉(zhuǎn)盤中標有數(shù)字的扇形的圓心角的度數(shù)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廠家接到一批特殊產(chǎn)品的生產(chǎn)訂單,客戶要求在兩周內(nèi)完成生產(chǎn),并商定這批產(chǎn)品的出廠價為每個16元.受市場影響,制造這批產(chǎn)品的某種原材料成本價持續(xù)上漲,設(shè)第x天(1≤x≤14,且x為整數(shù))每個產(chǎn)品的成本為m元,m與x之間的函數(shù)關(guān)系為m=x+8.訂單完成后,經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)工人王師傅第x天生產(chǎn)的產(chǎn)品個數(shù)y與x滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系:
(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;
(2)設(shè)王師傅第x天創(chuàng)造的產(chǎn)品利潤為W元,問王師傅第幾天創(chuàng)造的利潤最大?最大利潤是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線y = x2 – 2 m x – 2m – 2與直線y =-x-2 交于C,D兩點,將拋物線在C、D兩點之間的部分(不含C、D)上恰有兩個點的橫坐標為整數(shù),則m的取值范圍為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與軸交于點和點,與軸交于點,點坐標為,點坐標為,點是拋物線的頂點,過點作軸的垂線,垂足為,連接.
(1)求拋物線的解析式及點的坐標;
(2)點是拋物線上的動點,當時,求點的坐標;
(3)若點是軸上方拋物線上的動點,以為邊作正方形,隨著點的運動,正方形的大小、位置也隨著改變,當頂點或恰好落在軸上時,請直接寫出點的橫坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若拋物線與軸兩個交點間的距離為2,稱此拋物線為定弦拋物線,已知某定弦拋物線的對稱軸為直線,將此拋物線向左平移2個單位,再向下平移3個單位,得到的拋物線過點( )
A. B. C. D.
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【題目】我校為了了解圖書漂流的開展情況,隨機抽取部分學(xué)生進行了問卷調(diào)查,選項:閱讀漂流圖書本及以上;選項:閱讀漂流圖書本;選項:閱讀漂流圖書本;選項:沒有閱讀漂流圖書,只能從中選擇一個選項進行回答.收集整理問卷調(diào)查的情況,把結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖:
(1)此次抽樣調(diào)查了_______名學(xué)生;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)扇形統(tǒng)計圖選項圓心角的度數(shù)是_______;
(4)該校有名學(xué)生,估計全校閱讀過漂流圖書的學(xué)生約有多少名?
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