Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動．伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB-BC-CP于點E．點P、Q同時出發(fā)，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止．設點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）。
【小題1】（1）(2分) 當t = 2時，AP =     ，點Q到AC的距離是     ；
【小題2】（2）（2+2分）在點P從C向A運動的過程中，求△APQ的面積S與t的函數(shù)關系式；并求出S的最大值。
【小題3】（3）（4分）在點E從B向C運動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值．若不能，請說明理由；
【小題4】（4）（2分）當DE經過點C 時，請求出t的值．

Answer 1

【小題1】（1）1，
【小題2】（2）作QF⊥AC于點F，如圖1， AQ = CP= t，∴．
由△AQF∽△ABC，，
得．∴． ∴，
即．
∵
∴當t=時，S的最大值是
【小題3】

此時∠AQP=90°．
由△APQ ∽△ABC，得，
即． 解得．
②如圖3，當PQ∥BC時，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形．
此時∠APQ =90°．

由△AQP ∽△ABC，得 ，
即． 解得．
【小題4】（4）①點P由C向A運動，DE經過點C．
方法一、由，得，進而可得
，得，∴．∴．
方法二、連接QC，作QG⊥BC于點G，如圖4．
，．[來源:學科網ZXXK]
∵DC垂直平分PQ，∴PC=QC
由，得，解得．
②點P由A向C運動，DE經過點C，作QG⊥BC于點G，
如圖5．PC=2AC-t=6-t，
據(jù)上方法二，．

解析