Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，OA⊥OB，AB⊥x軸于點C，點A（，1）在反比例函數的圖象上．

（1）求反比例函數的表達式；

（2）在x軸的負半軸上存在一點P，使得S△AOP=S△AOB，求點P的坐標；

（3）若將△BOA繞點B按逆時針方向旋轉60°得到△BDE．直接寫出點E的坐標，并判斷點E是否在該反比例函數的圖象上，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（，0）；（3）E（，﹣1），在．

【解析】試題分析：（1）將點A（，1）代入，利用待定系數法即可求出反比例函數的表達式；

（2）先由射影定理求出BC=3，那么B（，﹣3），計算求出S△AOB=××4=．則S△AOP=S△AOB=．設點P的坐標為（m，0），列出方程求解即可；

（3）先解△OAB，得出∠ABO=30°，再根據旋轉的性質求出E點坐標為（﹣，﹣1），即可求解．

試題解析：（1）∵點A（，1）在反比例函數的圖象上，∴k=×1=，∴反比例函數的表達式為；

（2）∵A（，1），AB⊥x軸于點C，∴OC=，AC=1，由射影定理得=ACBC，可得BC=3，B（，﹣3），S△AOB=××4=，∴S△AOP=S△AOB=．

設點P的坐標為（m，0），∴×|m|×1=，∴|m|=，∵P是x軸的負半軸上的點，∴m=﹣，∴點P的坐標為（，0）；

（3）點E在該反比例函數的圖象上，理由如下：

∵OA⊥OB，OA=2，OB=，AB=4，∴sin∠ABO===，∴∠ABO=30°，∵將△BOA繞點B按逆時針方向旋轉60°得到△BDE，∴△BOA≌△BDE，∠OBD=60°，∴BO=BD=，OA=DE=2，∠BOA=∠BDE=90°，∠ABD=30°+60°=90°，而BD﹣OC=，BC﹣DE=1，∴E（，﹣1），∵×（﹣1）=，∴點E在該反比例函數的圖象上．