Question

14．如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=4，點(diǎn)C、D在邊AB上，且∠COD=45°，設(shè)AD=x，BC=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)AC=$\sqrt{2}$時(shí)，求△COD的面積；
（3）當(dāng)∠BOD=15°時(shí)，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠A=∠B，∠ADO=∠BOC，判定△AOD∽△BCO，進(jìn)而得出$\frac{AO}{BC}$=$\frac{AD}{BO}$，即$\frac{4}{y}$=$\frac{x}{4}$，據(jù)此得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）過O作OE⊥AB于E，則OE=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，當(dāng)AC=$\sqrt{2}$時(shí)，BC=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，據(jù)此求得CD=$\frac{8}{3}\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=$\frac{2}{3}\sqrt{2}$，最后計(jì)算△COD的面積即可；
（3）過C作CF⊥OB，則CF∥AO，∠BCF=45°，根據(jù)∠COF=60°，∠OCF=30°，設(shè)OF=x，則CF=BF=$\sqrt{3}$x，再根據(jù)OB=4，列方程x+$\sqrt{3}$x=4，求得OF=2$\sqrt{3}$-2，最后根據(jù)CF∥AO，得出$\frac{OF}{OB}$=$\frac{AC}{AB}$，進(jìn)而得出AC的長．

解答 解：（1）∵△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=4，
∴∠A=∠B=45°，AB=4$\sqrt{2}$，
∴∠ADO=∠B+∠BOD=45°+∠BOD，
∵∠COD=45°，
∴∠BOC=∠COD+∠BOD=45°+∠BOD，
∴∠ADO=∠BOC，
∴△AOD∽△BCO，
∴$\frac{AO}{BC}$=$\frac{AD}{BO}$，即$\frac{4}{y}$=$\frac{x}{4}$，
∴xy=16，
即y=$\frac{16}{x}$，
∵點(diǎn)C、D在邊AB上，且∠COD=45°，
∴$\frac{1}{2}$AB≤AD≤AB，
∴2$\sqrt{2}$≤x≤4$\sqrt{2}$；

（2）如圖所示，過O作OE⊥AB于E，則OE=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)AC=$\sqrt{2}$時(shí)，BC=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，
∴y=3$\sqrt{2}$，
又∵y=$\frac{16}{x}$，
∴3$\sqrt{2}$=$\frac{16}{x}$，
解得x=$\frac{8}{3}\sqrt{2}$，
∴AD=$\frac{8}{3}\sqrt{2}$，
∴CD=$\frac{8}{3}\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=$\frac{2}{3}\sqrt{2}$，
∴△COD的面積=$\frac{1}{2}$×CD×OE=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$；

（3）如圖所示，過C作CF⊥OB，則CF∥AO，∠BCF=45°，
∵∠BOD=15°，∠COD=45°，
∴∠COF=60°，∠OCF=30°，
設(shè)OF=x，則CF=BF=$\sqrt{3}$x，
∵OF+FB=4，
∴x+$\sqrt{3}$x=4，
解得x=2$\sqrt{3}$-2，
即OF=2$\sqrt{3}$-2，
∵CF∥AO，
∴$\frac{OF}{OB}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{2\sqrt{3}-2}{4}$=$\frac{AC}{4\sqrt{2}}$，
解得AC=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理進(jìn)行計(jì)算求解．