【題目】已知:如圖,平行四邊形 ABCD中,O是CD的中點,連接AO并延長,交BC的延長線于點E.
(1)求證:△AOD ≌ △EOC;
(2)連接AC,DE,當(dāng)∠B∠AEB _______ °時,四邊形ACED是正方形?請說明理由.
【答案】(1)證明見解析(2)當(dāng)∠B=∠AEB=45°時,四邊形ACED是正方形
【解析】試題分析:(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠D=∠OCE,∠DAO=∠E,再根據(jù)中點定義可得DO=CO,然后可利用AAS證明△AOD≌△EOC;
(2)當(dāng)∠B=∠AEB=45°時,四邊形ACED是正方形,首先證明四邊形ACED是平行四邊形,再證對角線互相垂直且相等可得四邊形ACED是正方形.
試題解析:證明:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,∴∠D=∠OCE,∠DAO=∠E.∵O是CD的中點,∴OC=OD.在△ADO和△ECO中,,∴△AOD≌△EOC(AAS);
(2)當(dāng)∠B=∠AEB=45°時,四邊形ACED是正方形.
∵△AOD≌△EOC,∴OA=OE.
又∵OC=OD,∴四邊形ACED是平行四邊形.
∵∠B=∠AEB=45°,∴AB=AE,∠BAE=90°.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠COE=∠BAE=90°,∴ACED是菱形.∵AB=AE,AB=CD,∴AE=CD,∴菱形ACED是正方形.
故答案為:45.
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【題目】在橫線上填寫理由,完成下面的證明. 如圖,已知∠1+∠2=180°,∠B=∠3,求證∠C=∠AED
證明:∵∠1+∠2=180°(已知),∠1+∠DFE=180°()
∴∠2=∠DFE()
∴AB∥EF()
∴∠3=∠ADE()
又∵∠B=∠3(已知)
∴∠B=∠ADE()
∴DE∥BC()
∴∠C=∠AED()
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【題目】如圖,已知⊙O的直徑AB=12,弦AC=10,D是 的中點,過點D作DE⊥AC,交AC的延長線于點E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)求AE的長.
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【題目】某景區(qū)修建一棟復(fù)古建筑,其窗戶設(shè)計如圖所示.圓O的圓心與矩形ABCD對角線的交點重合,且圓與矩形上下兩邊相切(E為上切點),與左右兩邊相交(F,G為其中兩個交點),圖中陰影部分為不透光區(qū)域,其余部分為透光區(qū)域.已知圓的半徑為1m,根據(jù)設(shè)計要求,若∠EOF=45°,則此窗戶的透光率(透光區(qū)域與矩形窗面的面積的比值)為 .
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【題目】某同學(xué)在平時的練習(xí)中,遇到下面一道題目:
如圖,∠AOC=90°,OE 平分∠BOC,OD平分∠AOB.
①若∠BOC=60°,求∠DOE 度數(shù);
②若∠BOC=α(0<α<90°),其他條件不變,求∠DOE 的度數(shù).
(1)下面是某同學(xué)對①問的部分解答過程,請你補充完整.
∵OE 平分∠BOC,∠BOC=60°
∴∠BOE= . (角平分線的定義)
∵∠AOC=90°,∠BOC=60°
∴ ,
∵OD 平分∠AOB,
∴ ,(角平分線的定義)
∴∠DOE= .
(注:符號∵表示因為,用符號∴表示所以).
(2)仿照①的解答過程,完成第②小題.
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【題目】下列說法:
(1)在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線一定平行.(2)在同一平面內(nèi),不相交的兩條線段一定平行.(3)相等的角是對頂角.(4)兩條直線被第三條直線所截,同位角相等.(5)兩條平行線被第三條直線所截,一對內(nèi)錯角的角平分線互相平行.其中,正確說法的個數(shù)是( )
A. 1個 B.2個 C.3個 D.4個
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【題目】已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為點E,AE=BE.
(1)求∠B的度數(shù);
(2)如果AC=3cm,CD=cm,求△ABD的面積.
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【題目】如圖為地鐵調(diào)價后的計價表.調(diào)價后小明、小偉從家到學(xué)校乘地鐵分別需要4元和3元.由于刷卡坐地鐵有優(yōu)惠,因此,他們平均每次實付3.6元和2.9元.已知小明從家到學(xué)校乘地鐵的里程比小偉從家到學(xué)校的里程多5 km,且小明每千米享受的優(yōu)惠金額是小偉的2倍,求小明和小偉從家到學(xué)校乘地鐵的里程分別是多少千米.
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【題目】如圖,四邊形是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的長方形紙片,為原點,點在軸的正半軸上,點在軸的正半軸上,,.在邊上取一點,將紙片沿翻折,使點落在邊上的點處.
(1)求和的長;
(2)求直線的表達式;
(3)直線與平行,當(dāng)它與矩形有公共點時,直接寫出的取值范圍.
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