【題目】如圖,點C為線段AB上一點,分別以AB、AC、CB為底作頂角為120°的等腰三角形,頂角頂點分別為D、E、F(點E、F在AB的同側(cè),點D在另一側(cè))
(1)如圖1,若點C是AB的中點,則∠AED= ;
(2)如圖2,若點C不是AB的中點
①求證:△DEF為等邊三角形;
②連接CD,若∠ADC=90°,AB=3,請直接寫出EF的長.
【答案】(1) 90°;(2)①見解析;②
【解析】
(1)如圖1,過E作EH⊥AB于H,連接CD,設(shè)EH=x,則AE=2x,AH=x,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAC=30°,進而得到DC=CE,又因為EH∥DC,∴∠HED=∠EDC=∠CED,再進一步得到∠AEH=60°,∠HED=30°,即可求出∠AED的大小;(2)①延長FC交AD于H,連接HE,如圖2,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠FCB=∠FBC=30°,∠DAB=∠DBA=30°,∠EAC=∠ECA=30°,進而得到AD∥EC∥BF,AE∥CF∥BD,所以四邊形BDHF、四邊形AECH是平行四邊形,進而得到△AEH是等邊三角形,再根據(jù)SAS判定定理得到△DHE≌△FCE,∴∠DEF=∠CEH=60°,∴△DEF是等邊三角形;②如圖3,過E作EM⊥AB于M,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),求出CD、CE的長,再根據(jù)勾股定理求出DE的長,因為△DEF是等邊三角形,∴EF=DE,即可得解.
(1)如圖1,過E作EH⊥AB于H,連接CD,
設(shè)EH=x,則AE=2x,AH=x,
∵AE=EC,
∴AC=2AH=2x,
∵C是AB的中點,AD=BD,
∴CD⊥AB,
∵∠ADB=120°,
∴∠DAC=30°,
∴DC=2x,
∴DC=CE=2x,
∵EH∥DC,
∴∠HED=∠EDC=∠CED,
∵∠AEH=60°,∠AEC=120°,
∴∠HEC=60°,
∴∠HED=30°,
∴∠AED=∠AEH+∠HED=90°;
故答案為:90°;
(2)①延長FC交AD于H,連接HE,如圖2,
∵CF=FB,
∴∠FCB=∠FBC,
∵∠CFB=120°,
∴∠FCB=∠FBC=30°,
同理:∠DAB=∠DBA=30°,∠EAC=∠ECA=30°,
∴∠DAB=∠ECA=∠FBD,
∴AD∥EC∥BF,
同理AE∥CF∥BD,
∴四邊形BDHF、四邊形AECH是平行四邊形,
∴EC=AH,BF=HD,
∵AE=EC,
∴AE=AH,
∵∠HAE=60°,
∴△AEH是等邊三角形,
∴AE=AH=HE=CE,∠AHE=∠AEH=60°,
∴∠DHE=120°,
∴∠DHE=∠FCE.
∵DH=BF=FC,
∴△DHE≌△FCE(SAS),
∴DE=EF,∠DEH=∠FEC,
∴∠DEF=∠CEH=60°,
∴△DEF是等邊三角形;
②如圖3,過E作EM⊥AB于M,
∵∠ADC=90°,∠DAC=30°,
∴∠ACD=60°,
∵∠DBA=30°,
∴∠CDB=∠DBC=30°,
∴CD=BC=AC,
∵AB=3,
∵AC=2,BC=CD=1,
∵∠ACE=30°,∠ACD=60°,
∴∠ECD=30°+60°=90°,
∵AE=CE,
∴CM=AC=1,
∵∠ACE=30°,
∴CE=,
Rt△DEC中,DE===,
由①知:△DEF是等邊三角形,
∴EF=DE= .
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【題目】如圖,直線經(jīng)過點A,作AB⊥x軸于點B,將△ABO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBD,若點B的坐標(biāo)為(1,0),則點C的坐標(biāo)為( 。
A.(3,)B.(,)C.(3,)D.(,)
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【題目】已知,函數(shù)y=ax2﹣6ax+9a+1與線段AB有交點,且已知點A(0,1)與點B(2,3)的坐標(biāo),則a的取值范圍_____.
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【題目】若關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根,且其中一個根為另一個根的2倍,則稱這樣的方程為“倍根方程”,以下關(guān)于倍根方程的說法,正確的是( )
①方程是倍根方程;②若是倍根方程,則或③若點在雙曲線的圖像上,則關(guān)于的方程是倍根方程;
A. ①B. ①②C. ①③D. ①②③
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【題目】如圖是某商品標(biāo)牌的示意圖,⊙O與等邊△ABC的邊BC相切于點C,且⊙O的直徑與△ABC的高相等,已知等邊△ABC邊長為4,設(shè)⊙O與AC相交于點E,則AE的長為( )
A.B.1C.﹣1D.
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【題目】如圖,已知在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,四邊形OABC是長方形,點A、C、D的坐標(biāo)分別為A(9,0)、C(0,4),D(5,0),點P從點O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿O→C→B→A運動,點P的運動時間為t秒.則當(dāng)t=____秒時,△ODP是腰長為5的等腰三角形?
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,有下列5個結(jié)論:①4a+2b+c>0;②abc<0;③b<a﹣c;④3b>2c;⑤a+b<m(am+b),(m≠1的實數(shù));其中正確結(jié)論的個數(shù)為( 。
A.2個B.3個C.4個D.5個
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【題目】如圖所示,⊙O的半徑為4,點A是⊙O上一點,直線l過點A;P是⊙O上的一個動點(不與點A重合),過點P作PB⊥l于點B,交⊙O于點E,直徑PD延長線交直線l于點F,點A是的中點.
(1)求證:直線l是⊙O的切線;
(2)若PA=6,求PB的長.
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【題目】 如圖,⊙M的半徑為2,圓心M的坐標(biāo)為(3,4),點P是⊙M上的任意一點,PA⊥PB,且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點,若點A、點B關(guān)于原點O對稱,則AB的最小值為( 。
A. 3B. 4C. 6D. 8
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