Question

【題目】如圖1，矩形OBCD的邊OD，OB分別在x軸和y軸上，且B (0，8)，D(10，0)．點(diǎn)E是DC邊上一點(diǎn)，將矩形OBCD沿過(guò)點(diǎn)O的射線OE折疊，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)A處．

（1）若拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，D，求此拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)M是（2）中拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使△AME為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

（3）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿折線D﹣C﹣A以同樣的速度運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作直線1⊥x軸，依次交射線OA，OE于點(diǎn)F，G，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），△QFG的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出t的取值范圍．（t的取值應(yīng)保證△QFG的存在）

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)為，(5，5)，(5，2.5)，理由見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）先利用矩形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；

（2）易求得拋物線的對(duì)稱軸x＝5，過(guò)點(diǎn)E作ET⊥AH，垂足為T，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），運(yùn)用勾股定理用含n的代數(shù)式表示出AM2、EM2，然后分三種情況進(jìn)行討論：AM＝AE, EM＝EA, MA＝ME分別列出等式，求出n，就可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)點(diǎn)Q的位置不同，分以下四種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)Q在線段DC上；②點(diǎn)Q在AC上且在直線l的右邊；③點(diǎn)Q在AC上且在直線l上；④點(diǎn)Q在AC上且在直線l的左邊，分情況討論即可．

（1）解：∵四邊形OBCD是矩形，B（0，8），D（10，0），

∴BC＝OD＝10，DC＝OB＝8，∠OBC＝∠C＝90°．

由折疊可得：OA＝OD＝10，AE＝DE．

∵∠OBC＝90°，OB＝8，OA＝10，

∴AB＝，

∴AC＝4．

設(shè)AE＝DE＝x，則CE＝8﹣x，

∵∠C＝90°，

∴x2＝42+（8﹣x）2，

解得：x＝5，

∴AE＝DE＝5，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，8），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（10，5）．

∵拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，8），D（10，0），

∴解得

此拋物線的解析式為；

（2）存在M，使△AME為等腰三角形．

設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與BC交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作ET⊥AH，垂足為T，連接AM、ME，如圖1，

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則，

∴AH＝6﹣5＝1，HM＝8﹣n，ET＝10﹣5＝5，TM＝5﹣n

∵AH⊥HM，

∴AM2＝AH2+MH2＝1+（8﹣n）2

∵ET⊥MH

∴ME2＝ET2+MT2＝25+（5﹣n）2

①若AM＝AE，則AM2＝AE2，

∴1+（8﹣n）2＝25，

∴（8﹣n）2＝24，

解得：，

此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或 ；

②若EM＝EA，則EM2＝EA2

∴25+（5﹣n）2＝25

∴（5﹣n）2＝0

∴n3＝5

此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為；

③若MA＝ME，則MA2＝ME2

∴1+（8﹣n）2＝25+（5﹣n）2

解得：n4＝2.5

此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為；

綜上所述：滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)為，（5，5），（5，2.5）；

（3）設(shè)直線OA的解析式y＝k1x，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，8），

∴6k1＝8，

∴，

∴直線OA的解析式為 ，

同理可得：直線OE的表達(dá)式為y＝，

∵OP＝1×t＝t

∴P（t，0）

∵直線l⊥x軸于點(diǎn)P，點(diǎn)F，G是直線l與OA，OE的交點(diǎn)

∴，

故，

①當(dāng)0＜t＜8時(shí)，點(diǎn)Q在線段DC上，

過(guò)點(diǎn)Q作QS⊥直線l，垂足為S，

則QS＝PD＝10﹣t

∴

＝

＝；

②當(dāng)8≤t＜9時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上，且在直線l的右側(cè)，

設(shè)FG交AC于點(diǎn)N，如圖3，

則QN＝CN﹣CQ＝PD﹣CQ＝（10-t）﹣（t﹣8）＝18﹣2t

∴

＝

＝；

③當(dāng)t＝9時(shí)，QN＝18﹣2t＝0，點(diǎn)Q與點(diǎn)N重合，此時(shí)△QFG不存在，故舍去；

④當(dāng)9＜t≤10時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上，且在直線l的左側(cè)，設(shè)FG交AC于點(diǎn)N，如圖4．

則QN＝CQ﹣CN＝CQ﹣PD＝（t-8）-(10-t)＝2t﹣18

∴

＝

＝;

綜上所述：．