【題目】問(wèn)題背景:我們學(xué)習(xí)等邊三角形時(shí)得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì):在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.即:如圖1,在RtABC中,∠ACB=90°,ABC=30°,則:AC=AB.

探究結(jié)論:小明同學(xué)對(duì)以上結(jié)論作了進(jìn)一步研究.

(1)如圖1,連接AB邊上中線CE,由于CE=AB,易得結(jié)論:①△ACE為等邊三角形;②BECE之間的數(shù)量關(guān)系為  

(2)如圖2,點(diǎn)D是邊CB上任意一點(diǎn),連接AD,作等邊ADE,且點(diǎn)E在∠ACB的內(nèi)部,連接BE.試探究線段BEDE之間的數(shù)量關(guān)系,寫(xiě)出你的猜想并加以證明.

(3)當(dāng)點(diǎn)D為邊CB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí),在(2)條件的基礎(chǔ)上,線段BEDE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論  

拓展應(yīng)用:如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣,1),點(diǎn)Bx軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn),以AB為邊作等邊ABC,當(dāng)C點(diǎn)在第一象限內(nèi),且B(2,0)時(shí),求C點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】(1)EC=EB;(2)ED=EB,理由見(jiàn)解析;(3)ED=EB;拓展應(yīng)用:C(1,2+).

【解析】

探究結(jié)論:(1)只要證明ACE是等邊三角形即可解決問(wèn)題;

(2)如圖2中,結(jié)論:ED=EB.想辦法證明EP垂直平分線段AB即可解決問(wèn)題;

(3)結(jié)論不變,證明方法類似;

拓展應(yīng)用:利用(2)中結(jié)論,可得CO=CB,設(shè)C(1,n),根據(jù)OC=CB=AB,構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.

探究結(jié)論(1),如圖1中,

∵∠ACB=90°,B=30°,

∴∠A=60°,

AC=AB=AE=EB,

∴△ACE是等邊三角形,

EC=AE=EB,

故答案為:EC=EB;

(2)如圖2中,結(jié)論:ED=EB.

理由:連接PE,

∵△ACP,ADE都是等邊三角形,

AC=AD=DE,AD=AE,CAP=DAE=60°,

∴∠CAD=PAE,

∴△CAD≌△PAE,

∴∠ACD=APE=90°,

EPAB,PA=PB,

EA=EB,DE=AE,

ED=EB;

(3)當(dāng)點(diǎn)D為邊CB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí),同法可證:ED=EB,

故答案為:ED=EB;

拓展應(yīng)用:如圖3中,作AHx軸于H,CFOBF,連接OA,

A(﹣,1),

∴∠AOH=30°,

由(2)可知,CO=CB,

CFOB,

OF=FB=1,

∴可以假設(shè)C(1,n),

OC=BC=AB,

1+n2=1+(+2)2,

n=2+,

C(1,2+).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】工人師傅用一塊長(zhǎng)為10dm,寬為6dm的矩形鐵皮制作一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體容器,需要將四角各裁掉一個(gè)正方形.(厚度不計(jì))

(1)在圖中畫(huà)出裁剪示意圖,用實(shí)線表示裁剪線,虛線表示折痕;并求長(zhǎng)方體底面面積為12dm2時(shí),裁掉的正方形邊長(zhǎng)多大?

(2)若要求制作的長(zhǎng)方體的底面長(zhǎng)不大于底面寬的五倍,并將容器進(jìn)行防銹處理,側(cè)面每平方分米的費(fèi)用為0.5元,底面每平方分米的費(fèi)用為2元,裁掉的正方形邊長(zhǎng)多大時(shí),總費(fèi)用最低,最低為多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,正方形 ABCD 中,P BA 延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且PDA 0 45.點(diǎn) A,點(diǎn) E 關(guān)于 DP 對(duì)稱,連接 ED,EP ,并延長(zhǎng) EP 交射線CB 于點(diǎn) F ,連接 DF .

1)請(qǐng)按照題目要求補(bǔ)全圖形.

2)求證:∠EDF=CDF

3)求∠EDF(含有 的式子表示);

4)過(guò) P PHDP DF 于點(diǎn) H ,連接 BH , 猜想 AP BH 的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1,矩形OBCD的邊OD,OB分別在x軸和y軸上,且B (0,8)D(10,0).點(diǎn)EDC邊上一點(diǎn),將矩形OBCD沿過(guò)點(diǎn)O的射線OE折疊,使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)A處.

1)若拋物線yax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)AD,求此拋物線的解析式;

2)若點(diǎn)M是(2)中拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),是否存在點(diǎn)M,使AME為等腰三角形?若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;

3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿折線DCA以同樣的速度運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止,過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作直線1x軸,依次交射線OAOE于點(diǎn)F,G,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒),QFG的面積為S,求St的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫(xiě)出t的取值范圍.(t的取值應(yīng)保證QFG的存在)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1是某品牌訂書(shū)機(jī),其截面示意圖如圖2所示.訂書(shū)釘放置在軌槽CD內(nèi)的MD處,由連接彈簧的推動(dòng)器MN推緊,連桿EP一端固定在壓柄CF上的點(diǎn)E處,另一端PDM上移動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合后,拉動(dòng)壓柄CF會(huì)帶動(dòng)推動(dòng)器MN向點(diǎn)C移動(dòng).使用時(shí),壓柄CF的端點(diǎn)F與出釘口D重合,紙張放置在底座AB的合適位置下壓完成裝訂(即點(diǎn)D與點(diǎn)H重合).已知CAABCA2cm,AH12cmCE5cm,EP6cmMN2cm

1)求軌槽CD的長(zhǎng)(結(jié)果精確到0.1);

2)裝入訂書(shū)釘需打開(kāi)壓柄FC,拉動(dòng)推動(dòng)器MN向點(diǎn)C移動(dòng),當(dāng)∠FCD53°時(shí),能否在ND處裝入一段長(zhǎng)為2.5cm的訂書(shū)釘?(參考數(shù)據(jù):≈2.24,≈6.08,sin53°≈0.80,cos53°≈0.60

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖.拋物線經(jīng)過(guò)三點(diǎn).

1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;

2)若直線是拋物線的對(duì)稱軸,設(shè)點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)的周長(zhǎng)最小時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);

3)在線段上是否存在點(diǎn),使得以線段為直徑的圓與邊交于點(diǎn)(與點(diǎn)不同),且以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,四邊形ABCD中,ADBC

1)如圖1ABAC,點(diǎn)EAB上一點(diǎn),∠BEC=∠ACD

①求證:ABBCADBE;

②連接BDCEF,試探究CFCE的數(shù)量關(guān)系,并證明;

2)如圖2,若AB≠AC,點(diǎn)MCD上,cosDACcosBMAACCD3MC,ADBC12,直接寫(xiě)出BC的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn),點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合),過(guò)點(diǎn)作直線的平行線交軸于,過(guò)點(diǎn)軸的垂線交直線,連結(jié),

1)當(dāng)點(diǎn)在線段上且時(shí),__________

2)當(dāng)相似時(shí),點(diǎn)的橫坐標(biāo)為____________

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】扶貧工作小組對(duì)果農(nóng)進(jìn)行精準(zhǔn)扶貧,幫助果農(nóng)將一種有機(jī)生態(tài)水果拓寬了市場(chǎng).與去年相比,今年這種水果的產(chǎn)量增加了1000千克,每千克的平均批發(fā)價(jià)比去年降低了1元,批發(fā)銷(xiāo)售總額比去年增加了

1)已知去年這種水果批發(fā)銷(xiāo)售總額為10萬(wàn)元,求這種水果今年每千克的平均批發(fā)價(jià)是多少元?

2)某水果店從果農(nóng)處直接批發(fā),專營(yíng)這種水果.調(diào)查發(fā)現(xiàn),若每千克的平均銷(xiāo)售價(jià)為41元,則每天可售出300千克;若每千克的平均銷(xiāo)售價(jià)每降低3元,每天可多賣(mài)出180千克,設(shè)水果店一天的利潤(rùn)為元,當(dāng)每千克的平均銷(xiāo)售價(jià)為多少元時(shí),該水果店一天的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?(利潤(rùn)計(jì)算時(shí),其它費(fèi)用忽略不計(jì).)

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