Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=

4

5

，點(diǎn)P在線段AC上，過點(diǎn)P作PE⊥AB，PD∥AB交BC于D，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F．設(shè)PE的長(zhǎng)為x，PD的長(zhǎng)為y，已知y是x的函數(shù)，其圖象經(jīng)過點(diǎn)（

24

5

，15）
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求線段AC的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，矩形PEFD的面積最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）利用cosA=

4

5

表示出sinA，然后在直角三角形APE和直角三角形PCD中分別利用合適的邊角關(guān)系表示出來，然后將點(diǎn)（

24

5

，15）代入即可求得函數(shù)解析式；
（2）將點(diǎn)（

24

5

，15）的坐標(biāo)代入求得的函數(shù)解析式即可求得AC的長(zhǎng)；
（3）利用矩形的面積表示出來，然后利用配方法求最值即可．

解答：解：（1）∵cosA=

4

5

，
∴sinA=

3

5

，
∵Rt△APE中，sinA=

PE

AP

，
∴AP=

5

3

PE=

5

3

x，
設(shè)AC長(zhǎng)為z，則CP=AC-AP=z-

5

3

x，
∵PD∥AB，則∠DPC=∠A，
∴Rt△PCD中，cos∠DPC=cosA=

4

5

=

PC

PD

=

z- 5 3 x

y

，
則

4

5

y=z-

5

3

x，
∵其圖象經(jīng)過點(diǎn)（

24

5

，15）
∴4×

15

5

=z-

5× 24 5

3

，
解得z=20
∴

4

5

y=20-

5

3

x，
即y=25-

25

12

x；

（2）根據(jù)上題可得AC=20；

（3）S_矩形=xy=x（25-

25

12

x）=-

25

12

x²+25x=-

25

12

（x²-12x+36-36）=-

25

12

（x-6）²+75，
∴當(dāng)x=6時(shí)，矩形PEFD的面積最大，最大值為75．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、二次函數(shù)的最值及解直角三角形的知識(shí)，是一道綜合性較強(qiáng)的題目．