Question

【題目】如圖，△ABC中，BD、CE分別是AC、AB上的中線，BD與CE相交于點O，點M、N分別是OB、OC的中點，連接DE、EM、MN、ND．
（1）求證：四邊形DEMN是平行四邊形；
（2）若四邊形DEMN是菱形，且BC=4cm，AC=6cm，求邊AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BD、CE分別是AC、AB上的中線，

∴點E為線段AB的中點，點D為線段AC的中點，

∴DE為△ABC的中位線，

∴DE∥BC，且BC=2DE．

∵點M、N分別是OB、OC的中點，

∴MN為△OBC的中位線，

∴MN∥BC，且BC=2MN．

∴DE∥MN，DE=MN，

∴四邊形DEMN是平行四邊形

（2）作BC邊上的中線AF，交BD于M，連接DF，

∵BD、AF是邊AC、BC上的中線，

∴DF∥BA，DF= BA．

∴△MDF∽△MBA，

∴ = ，

即BD=3DM，

∵四邊形DEMN是菱形，且BC=4cm，AC=6cm，

∴EM=DN=MN=2cm，

∴AB=AC=6cm．

【解析】（1）由中位線定理，可得ED∥BC，MN∥BC，且都等于邊長BC的一半．分析到此，此題證明即可．（2）根據(jù)三角形的中位線定理，得DF∥BA，DF= BA．根據(jù)平行得到三角形MDF相似于三角形MBA，再根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等即可求解．
【考點精析】利用三角形中位線定理和平行四邊形的判定與性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．