Question

【題目】如圖，△ABC中，BD、CE分別是AC、AB上的中線，BD與CE相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別是OB、OC的中點(diǎn)，連接DE、EM、MN、ND．
（1）求證：四邊形DEMN是平行四邊形；
（2）若四邊形DEMN是菱形，且BC=4cm，AC=6cm，求邊AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BD、CE分別是AC、AB上的中線，

∴點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，

∴DE為△ABC的中位線，

∴DE∥BC，且BC=2DE．

∵點(diǎn)M、N分別是OB、OC的中點(diǎn)，

∴MN為△OBC的中位線，

∴MN∥BC，且BC=2MN．

∴DE∥MN，DE=MN，

∴四邊形DEMN是平行四邊形

（2）作BC邊上的中線AF，交BD于M，連接DF，

∵BD、AF是邊AC、BC上的中線，

∴DF∥BA，DF= BA．

∴△MDF∽△MBA，

∴ = ，

即BD=3DM，

∵四邊形DEMN是菱形，且BC=4cm，AC=6cm，

∴EM=DN=MN=2cm，

∴AB=AC=6cm．

【解析】（1）由中位線定理，可得ED∥BC，MN∥BC，且都等于邊長(zhǎng)BC的一半．分析到此，此題證明即可．（2）根據(jù)三角形的中位線定理，得DF∥BA，DF= BA．根據(jù)平行得到三角形MDF相似于三角形MBA，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解．
【考點(diǎn)精析】利用三角形中位線定理和平行四邊形的判定與性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；若一直線過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．