【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AB是⊙O的直徑,⊙O交BC于點D,DE⊥AC于點E,BE交⊙O于點F,連接AF,AF的延長線交DE于點P.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)求tan∠ABE的值;
(3)若OA=2,求線段AP的長.

【答案】
(1)證明:連接AD、OD,如圖,

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠ADB=90°,

∵AB=AC,

∴AD垂直平分BC,即DC=DB,

∴OD為△BAC的中位線,

∴OD∥AC,

而DE⊥AC,

∴OD⊥DE,

∴DE是⊙O的切線;


(2)解:∵OD⊥DE,DE⊥AC,

∴四邊形OAED為矩形,

而OD=OA,

∴四邊形OAED為正方形,

∴AE=AO,

∴tan∠ABE= =


(3)解:∵AB是⊙O的直徑,

∴∠AFB=90°,

∴∠ABF+∠FAB=90°,

而∠EAP+∠FAB=90°,

∴∠EAP=∠ABF,

∴tan∠EAP=tan∠ABE= ,

在Rt△EAP中,AE=2,

∵tan∠EAP= = ,

∴EP=1,

∴AP= =


【解析】(1)連接AD、OD,根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°,由AB=AC,根據(jù)等腰三角形的直線得DC=DB,所以O(shè)D為△BAC的中位線,則OD∥AC,然后利用DE⊥AC得到OD⊥DE,這樣根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論;(2)易得四邊形OAED為正方形,然后根據(jù)正切的定義計算tan∠ABE的值;(3)由AB是⊙O的直徑得∠AFB=90°,再根據(jù)等角的余角相等得∠EAP=∠ABF,則tan∠EAP=tan∠ABE= ,在Rt△EAP中,利用正切的定義可計算出EP,然后利用勾股定理可計算出AP.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用圓周角定理和切線的判定定理的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半;切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

練習(xí)冊系列答案
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(1)該城市是否會受到這交臺風(fēng)的影響?請說明理由.

(2)若會受到臺風(fēng)影響,那么臺風(fēng)影響該城市持續(xù)時間有多少?

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(2)求出點M的坐標(biāo),并解釋該點坐標(biāo)所表示的實際意義;
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C.
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cm

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其中正確的有( )

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B.①③④
C.②④
D.①③

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