Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AF平分∠BAC，交BD于點(diǎn)F．

（1）求證：；

（2）點(diǎn)A1、點(diǎn)C1分別同時(shí)從A、C兩點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度運(yùn)動(dòng)相同的時(shí)間后同時(shí)停止，如圖，A1F1平分∠BA1C1，交BD于點(diǎn)F1，過點(diǎn)F1作F1E⊥A1C1，垂足為E，請(qǐng)猜想EF1，AB與三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)A1E＝6，C1E＝4時(shí)，則BD的長(zhǎng)為　　．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）AB－EF1＝ A1C1 ，理由見解析；（3）

【解析】試題分析：

（1）如下圖，過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，則由AF平分∠CAB和四邊形ABCD是正方形易證△AOF≌△AGF，△BGF是等腰直角三角形，由此可得AO=AG，F(xiàn)G=BG=OF，從而可得AB=AG+BG=AO+OF=AC+OF，變形即可得到結(jié)論；

（2）如下圖，過F1作F1G1⊥A1B，過F1作F1H1⊥BC1由此可得四邊形F1G1BH1是矩形．

由已知條件易得EF1＝G1F1＝F1H1，從而可得F1是三角形A1BC1的內(nèi)心，由“直角三角形內(nèi)切圓的半徑與三條邊長(zhǎng)間的關(guān)系”結(jié)合CC1=AA1，即可求得EF1，AB與三者之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖，設(shè)CC1=AA1=x，由點(diǎn)F1是△A1BC1的內(nèi)心，點(diǎn)E1、G1、H1都是切點(diǎn)可得A1E＝（A1C1＋A1B－BC1）÷2，即A1E＝[A1C1＋（AB＋x）－（AB－x）]÷2＝（10＋2x）÷2＝6，

由此解得x＝1；然后在Rt△A1BC1中，由A1B2＋BC12＝AC12，可得：（AB＋1）2＋（AB－1）2＝100，解得AB的長(zhǎng)即可由BD=AB求得BD的長(zhǎng).

試題解析：

（1）過F作FG⊥AB于G，

∵AF平分∠CAB，F(xiàn)O⊥AC，F(xiàn)G⊥AB，

∴OF＝FG，

∵∠AOF＝∠AGF＝90°，AF＝AF，OF＝FG，

∴△AOF≌△AGF，

∴AO＝AG，

直角三角形BGF中，∠DGA＝45°，

∴FG＝BG＝OF，

∴AB＝AG＋BG＝AO＋OF＝AC＋OF，

∴AB－OF＝AC．

（2）過F1作F1G1⊥A1B，過F1作F1H1⊥BC1，則四邊形F1G1BH1是矩形．

∵BD平分∠ABC，A1F1平分∠BA1C1，

∴F1H1＝F1G1=EF1，

即：F1是三角形A1BC1的內(nèi)心，

∴EF1＝（A1B＋BC1－A1C1）÷2…①

∵A1B＋BC1＝AB＋A1A＋BC－CC1，而CC1＝A1A，

∴A1B＋BC1＝2AB，

因此①式可寫成：EF1＝（2AB－A1C1）÷2，

即AB－EF1＝A1C1．

（3）由（2）得，F1是三角形A1BC1的內(nèi)心，且E1、G1、H1都是切點(diǎn)．

∴A1E＝（A1C1＋A1B－BC1）÷2，

如果設(shè)CC1＝A1A＝x，

A1E＝[A1C1＋（AB＋x）－（AB－x）]÷2＝（10＋2x）÷2＝6，

∴x＝1，

在直角三角形A1BC1中，根據(jù)勾股定理有A1B2＋BC12＝AC12，

即：（AB＋1）2＋（AB－1）2＝100，

解得AB＝7，

∴BD＝7．