Question

如圖，A是半徑為6cm的⊙O上的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以πcm/s的速度沿圓周按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P回到A時(shí)立即停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）
（1）當(dāng)t=6s時(shí)，∠POA的度數(shù)是______；
（2）當(dāng)t為多少時(shí)，∠POA=120°；
（3）如果點(diǎn)B是OA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AB=AO，問(wèn)t為多少時(shí)，△POB為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）設(shè)∠POA=n°，則

AP

=6π=

nπ×6

180

，
∴n=180．
即∠POA的度數(shù)是180．
故答案為180；

（2）當(dāng)∠POA=120°時(shí)，如圖，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長(zhǎng)的

1

3

（圖中P₁處）或

2

3

（圖中P₂處），
設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長(zhǎng)的

1

3

時(shí)，π•t=

1

3

•2π•6，
解得t=4；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長(zhǎng)的

2

3

時(shí)，π•t=

2

3

•2π•6，
解得t=8；
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為4s或8s時(shí)，∠POA=120°；

（3）分兩種情況：
①當(dāng)∠POB=90°時(shí)，如圖，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長(zhǎng)的

1

4

（圖中P₁處）或

3

4

（圖中P₂處），
設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長(zhǎng)的

1

4

時(shí)，π•t=

1

4

•2π•6，
解得t=3；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長(zhǎng)的

3

4

時(shí)，π•t=

3

4

•2π•6，
解得t=9．
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3s或9s時(shí)，△POB為直角三角形；
②當(dāng)∠OPB=90°時(shí)，如圖，（圖中P₃處）或（圖中P₄處），
設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)P₃處時(shí)，連接AP₃．
∵∠OP₃B=90°，OA=AB，
∴AP₃=OA=OP₃，
∴△OAP₃是等邊三角形，
∴∠AOP₃=60°，
∴π•t=

1

6

•2π•6，
解得t=2；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)P₄處時(shí)，連接AP₄．
∵∠OP₄B=90°，OA=AB，
∴AP₄=OA=OP₄，
∴△OAP₄是等邊三角形，
∴∠AOP₄=60°，
∴π•t=（1-

1

6

）•2π•6，
解得t=10．
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s或10s時(shí)，△POB為直角三角形．
綜上可知，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s或3s或9s或10s時(shí)，△POB為直角三角形．