Question

二次函數y=ax²+bx+c的圖象的一部分如圖所示．已知它的頂點M在第二象限，且經過點A（1，0）和點B（0，1）．
（1）試求a，b所滿足的關系式；
（2）設此二次函數的圖象與x軸的另一個交點為C，當△AMC的面積為△ABC面積的倍時，求a的值；
（3）是否存在實數a，使得△ABC為直角三角形？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點A（1，0）和點B（0，1）的坐標代入拋物線的解析式，就可以得到關于a，b，c關系式．整理就得到a，b的關系．
（2）△ABC的面積可以求出是，利用公式求出拋物線的頂點的縱坐標，進而表示出△AMC的面積，根據，就可以得到關于a的方程，解得a的值．
（3）本題應分A是直角頂點，B是直角頂點，C是直角頂點三種情況進行討論．
解答：解：（1）將A（1，0），B（0，l）代入y=ax²+bx+c，
得：，
可得：a+b=-1（2分）

（2）∵a+b=-1，
∴b=-a-1代入函數的解析式得到：y=ax²-（a+1）x+1，
頂點M的縱坐標為，
因為，
由同底可知：，（3分）
整理得：a²+3a+1=0，
解得：（4分）
由圖象可知：a＜0，
因為拋物線過點（0，1），頂點M在第二象限，其對稱軸x=，
∴-1＜a＜0，
∴舍去，
從而．（5分）

（3）①由圖可知，A為直角頂點不可能；（6分）
②若C為直角頂點，此時C點與原點O重合，不合題意；（7分）
③若設B為直角頂點，則可知AC²=AB²+BC²，
令y=0，可得：0=ax²-（a+1）x+1，
解得：x₁=1，x₂=
得：AC=1-，BC=，AB=．
則（1-）²=（1+）+2，
解得：a=-1，由-1＜a＜0，不合題意．
所以不存在．（9分）
綜上所述：不存在．（10分）
點評：本題值函數與三角形相結合的題目，注意數與形的結合是解題的關鍵．