Question

【題目】已知拋物線y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，﹣2），頂點(diǎn)為B．

（1）試確定a的值，并寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，試寫出一次函數(shù)的解析式；

（3）試在x軸上求一點(diǎn)P，使得△PAB的周長取最小值；

（4）若將拋物線平移m（m≠0）個(gè)單位，所得新拋物線的頂點(diǎn)記作C，與原拋物線的交點(diǎn)記作D，問：點(diǎn)O、C、D能否在同一條直線上？若能，請求出m的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a=1，B（1，-3）；（2）y=-x-2；（3）P（，0）；（4）能，m=2或-3.

【解析】

試題分析：（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中可求得a值，根據(jù)頂點(diǎn)式可寫出B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由（1）可知A、B坐標(biāo)，直線AB解析式可求出；（3）找出A點(diǎn)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)E，連接BE交x軸于點(diǎn)P.求出BE解析式即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)；（4）如圖2，設(shè)拋物線向右平移m（若m＞0表示向右平移，若m＜0表示向左平移）個(gè)單位，得到新的拋物線的頂點(diǎn)C（1+m，﹣3），可求出直線OC解析式，解新舊拋物線聯(lián)立方程組求得交點(diǎn)D坐標(biāo)為（， ），把D坐標(biāo)代到OC解析式中得到m=2或m=﹣3，即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）把A（0，﹣2）代入y=a（x﹣1）2﹣3得﹣2=a（0﹣1）2﹣3，解得：a=1，∴y=（x﹣1）2﹣3，∴B（1，﹣3）；（2）設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，

解得，∴一次函數(shù)的解析式為y=﹣x﹣2；（3）A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)記作E，則E（0，2），

如圖1，連接EB交x軸于點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為所求，設(shè)直線BE的解析式為y=px+q，則 ，解得，∴直線BE：y=﹣5x+2，當(dāng)y=0時(shí)，0=-5x+2，解得x=-.∴P（，0）；（4）如圖2，設(shè)拋物線向右平移m（若m＞0表示向右平移，若m＜0表示向左平移）個(gè)單位，則所得新的拋物線的頂點(diǎn)C（1+m，﹣3），∴直線OC的解析式為，∴新拋物線解析式為 y=（x﹣1﹣m）2﹣3，解 ，得，∴兩拋物線的交點(diǎn)D（， ），代入直線OC解析式中得，解得：m=2或m=﹣3，∴O、C、D三點(diǎn)能夠在同一直線上，

此時(shí)m=2或m=﹣3．