Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+6（a≠0）交x軸于A（﹣4，0），B（2，0），在y軸上有一點(diǎn)E（0，﹣2），連接AE．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)D是第二象限內(nèi)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

①求△ADE面積最大值并寫出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②若tan∠AED＝，求此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)；

（3）連接AC，點(diǎn)P是線段CA上的動(dòng)點(diǎn)，連接OP，把線段PO繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至PQ，點(diǎn)Q是點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，則動(dòng)點(diǎn)Q所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)等于　 （直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+6；（2）①當(dāng)m＝﹣時(shí)，S△ADE的面積最大，最大值為；點(diǎn)D點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；②D（，）；（3）2．

【解析】

（1）把點(diǎn)A（﹣4，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+6的解析式即可得解；

（2）①由A、E兩點(diǎn)坐標(biāo)得出直線AE解析式，設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（m，﹣m2﹣m+6，過點(diǎn)D作DK⊥y軸交于點(diǎn)K，然后構(gòu)建S△ADE面積與m的二次函數(shù)，即可得出△ADE面積最大值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②過點(diǎn)A作AN⊥DE，DE與x軸交于點(diǎn)F，通過證明Rt△AFN∽Rt△EFO，得出，得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線EF的解析式，聯(lián)立直線和二次函數(shù)，得出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；

（3）根據(jù)題意，當(dāng)P點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，（﹣4，﹣4），當(dāng)P點(diǎn)在C點(diǎn)時(shí)，Q（﹣6，6），動(dòng)點(diǎn)Q所經(jīng)過的路徑是線段Q，求出兩點(diǎn)之間的距離即可得解．

（1）將A（﹣4，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+6（a≠0），

，

可得，

∴y＝﹣x2﹣x+6，

故答案為：y＝﹣x2﹣x+6；

（2）①∵A（﹣4，0），E（0，﹣2），

設(shè)D（m，﹣m2﹣m+6），

過點(diǎn)D作DK⊥y軸交于點(diǎn)K，

K（0，﹣m2﹣m+6），

S△ADE＝S梯形DKOA+S△AOE﹣S△KED

＝×（KD+AO）×OK+×AO×OE﹣×KD×KE

＝（﹣m+4）×（﹣m2﹣m+6）+×4×2﹣×（﹣m）×（2﹣m2﹣m+6）

＝﹣（m+）2+，

當(dāng)m＝﹣時(shí)，S△ADE的面積最大，最大值為，點(diǎn)D點(diǎn)坐標(biāo)為（，），

故答案為： ；（，）；

②過點(diǎn)A作AN⊥DE，DE與x軸交于點(diǎn)F，

∵tan∠AED＝，

∴AN＝，NE＝3，

Rt△AFN∽Rt△EFO，

∴，

∵EF2＝OF2+4，

∴NF＝3﹣EF，

∴＝，

∴OF＝2，

∴F（﹣2，0），

∴EF直線解析式為y＝﹣x﹣2，

∴﹣x﹣2＝﹣x2﹣x+6時(shí)，x＝，

∴D（，），

故答案為：D（，）；

（3）∵Q點(diǎn)隨P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)在線段AC上運(yùn)動(dòng)，

∴Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，

當(dāng)P點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，（﹣4，﹣4），

當(dāng)P點(diǎn)在C點(diǎn)時(shí)，Q（﹣6，6），

∴Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為Q==2，

故答案為：2．