Question

已知，如圖，⊙D交y軸于A、B，交x軸于C，過C的直線：y=-2

2

x-8與y軸交于P．
（1）求證：PC是⊙D的切線；
（2）判斷在直線PC上是否存在點(diǎn)E，使得S_△EOC=4S_△CDO，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）求證PC是⊙D的切線，可以先連接DC然后證明垂直即可，由CP所在直線的解析式，我們可得出C，P兩點(diǎn)的坐標(biāo)，就能得出DP，CP的長，只需要求出CD的長．根據(jù)勾股定理判定三角形DCP是否為直角三角形即可，那么關(guān)鍵是求出DC的長，有了D的坐標(biāo)，也求出了C的坐標(biāo)，那么CD的長就能求出來了．
（2）由于三角形OCD和OCE公用了一條OC邊，那么比較它們的面積只需比較E，D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值即可．根據(jù)S_△EOC=4S_△CDO，那么E點(diǎn)的縱坐標(biāo)必為4或-4；根據(jù)CP的函數(shù)式，可以求出E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這樣就能求出E點(diǎn)的坐標(biāo)了．

解答：（1）解：∵PC的直線方程為：y=-2

2

x-8，
∴C（-2

2

，0），P（0，-8）．
∴OC=2

2

，OP=8，
PC=

OC2+OP2

=

8+64

=6

2

，
CD=

OD2+OC2

=

1+8

=3，
PD=OP+OD=8+1=9，
PD²=9²=81，CD²+PC²=9+72=81．
∴PD²=CD²+PC²．
∴△DCP為直角三角形，∠DCP=90°，DC⊥PC，CD為半徑．
∴PC為⊙D的切線．

（2）解：設(shè)E（r，y），
∴S_△OCE=4S_△CDO．
∴

1

2

×OC×|y|=4×

1

2

OC×OD，
|y|=4OD=4．
∴y=±4，
E₁（-3

2

，4），E₂（-

2

，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)和幾何問題的綜合應(yīng)用，本題中根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出點(diǎn)與點(diǎn)的距離是解題的基礎(chǔ)．