Question

已知，如圖，⊙D交y軸于A、B，交x軸于C，過點(diǎn)C的直線：y=-2

2

x-8與y軸交于P，且D的坐標(biāo)（0，1）．
（1）求點(diǎn)C、點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求證：PC是⊙D的切線；
（3）判斷在直線PC上是否存在點(diǎn)E，使得S_△EOP=4S_△CDO？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)函數(shù)解析式可以求得C（ -2

2

，0），P（0，-8）；
（2）利用（1）的結(jié)論可以求出cot∠OCD=2

2

，cot∠OPC=2

2

，得∠OCD=∠OPC，∠OCD+∠PCO=90°，由此即可證明即PC是⊙D的切線；
（3）設(shè)直線PC上存在一點(diǎn)E（x，y），根據(jù)使S_△EOP=4S_△CDO

1

2

可以列出關(guān)于x的方程，解方程求出x，然后利用直線PC的解析式即可求出E的坐標(biāo)．

解答：（1）解：∵直線y=-2

2

x-8與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C、P，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-8，
當(dāng)y=0時(shí)，x=-2

2

，
∴C（ -2

2

，0），P（0，-8）；

（2）證明：根據(jù)（1）得OC=2

2

，OP=8，OD=1，
∴cot∠OCD=

OC

OD

=2

2

，cot∠OPC=

OP

OC

=2

2

，
∴∠OCD=∠OPC，
∵∠OPC+∠PCO=90°，
∴∠OCD+∠PCO=90°，
∴PC是⊙D的切線；

（3）解：設(shè)直線PC上存在一點(diǎn)E（x，y），
使S_△EOP=4S_△CDO，即

1

2

×8×|x|=4×

1

2

×1×2

2

，
解得x=±

2

，由y=-2

2

x-8可知：
當(dāng)x=

2

時(shí)，y=-12，
當(dāng)x=-

2

時(shí)，y=-4，
∴在直線PC上存在點(diǎn)E（

2

，-12）或（-

2

，-4），
使S_△EOP=4S_△CDO；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、直線與圓的位置關(guān)系及三角形的面積公式，有一定的綜合性，最后一問注意分類討論．