Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD上一點，AB=8，BE=BC=10，動點P在線段BE上（與點B、E不重合），點Q在BC的延長線上，PE=CQ，PQ交EC于點F，PG∥BQ交EC于點G，設PE=x．

（1）求證：△PFG≌△QFC
（2）連結DG．當x為何值時，四邊形PGDE是菱形，請說明理由；

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BC=BE，∴∠BCE=∠PEC，

∵PG∥BQ，

∴∠BCE=∠PGE，∠Q=∠FPG，∠QCF=∠PGF，

∴∠PGE=∠PEC，

∴PE=PG，

∵PE=CQ，

∴PG=CQ，

∴△PFG≌△QFC （ASA）．

（2）解：結論：當x=4時，四邊形PGDE是菱形．

理由如下：連結DG

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

AB=CD=8，AD=BC=BE=10，

在Rt△ABE中，AE= ，

∴DE=AD﹣AE=10﹣6=4，

由（1）知PG=PE=x=4，

∴PG=DE，

∵PG∥BQ，AD∥BC，

∴PG∥DE，

∴四邊形PGDE是平行四邊形，

∵PG=PE=4，

∴四邊形PGDE是菱形．

；（3）作PH⊥EC于點H．探究：

①點P在運動過程中，線段HF的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求HF的長度；

②當x為何值時，△PHF與△BAE相似．

解：①不變化．

理由：在Rt△ABE中，CE= ，

∵PG=PE，PH⊥EC，

∴EH=HG= EG（等腰三角形“三線合一”），

∵△PFG≌△QFC，

∴CF=GF= CG，

∴HF=HG+FG= EG+ CG= CE= ，

②∵PG∥DE，

∴∠DEC=∠PGH，

在Rt△PGH中，PH=PG×sin∠PGH=x×sin∠DEC=x× =x× = ，

分兩種情況討論：

（Ⅰ）若△PHF∽△EAB，則 ，

∴ ，

∴ ，

∴當 時，△PHF∽△BAE．

（II）若△PHF∽△BAE，則 ，

∴ ，

∴ ，

∴當 或 時，△PHF與△BAE相似．

【解析】（1）只要證明PG=CQ，即可根據AAS或ASA證明；（2）結論：當x=4時，四邊形PGDE是菱形．首先證明四邊形PGDE是平行四邊形，由PG=PE=4，即可推出四邊形PGDE是菱形；（3）①不變化．可以證明：HF=HG+FG= EG+ CG= CE= ；②分兩種情形討論（Ⅰ）若△PHF∽△EAB，則 ，（II）若△PHF∽△BAE，則 ，分別列出方程即可解決問題；
【考點精析】根據題目的已知條件，利用相似三角形的應用的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．