Question

如圖，直線y=3x+3交坐標(biāo)軸于A，B，點(diǎn)C在雙曲線y=

k

x

（x＜0）上，且BC⊥AB，連接AC交雙曲線于D，若D恰好為AC的中點(diǎn)，則k的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：計(jì)算題

分析：對(duì)于直線y=3x+3，分別令x與y為0求出對(duì)應(yīng)y與x的值，確定出A與B坐標(biāo)，根據(jù)BC與AB垂直，利用兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1求出BC的斜率，進(jìn)而確定出直線BC的解析式，與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立表示出C坐標(biāo)，再利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出D坐標(biāo)，代入反比例解析式中列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，

解答：解：對(duì)于直線y=3x+3，
令x=0，得到y(tǒng)=3；令y=0，得到x=-1，
∴A（0，3），B（-1，0），
∴直線BC解析式為y=-（x+1）=-x-1，
y=-x-1與反比例解析式聯(lián)立消去y得：

k

x

=-x-1，
去分母得：x²+x+k=0，
解得：x=

-1+ 1-4k

2

（舍去），或x=

-1- 1-4k

2

，
∴y=

1+ 1-4k

2

-1，即C（

-1- 1-4k

2

，

1+ 1-4k

2

-1），
∵D為AC中點(diǎn)，
∴D（

-1- 1-4k

4

，

1+ 1-4k

4

+1），
將D坐標(biāo)代入反比例解析式得：

-1- 1-4k

4

•（

1+ 1-4k

4

+1）=k，
解得：k=-4．
故答案為：-4

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及的知識(shí)有：線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，是一道中檔題．