如圖,已知拋物線y=-x2+x+4交x軸的正半軸于點A,交y軸于點B.
(1)求A、B兩點的坐標,并求直線AB的解析式;
(2)設P(x,y)(x>0)是直線y=x上的一點,Q是OP的中點(O是原點),以PQ為對角線作正方形PEQF,若正方形PEQF與直線AB有公共點,求x的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,記正方形PEQF與△OAB公共部分的面積為S,求S關于x的函數(shù)解析式,并探究S的最大值.

【答案】分析:(1)拋物線的解析式中,令x=0可求出B點的坐標,令y=0可求出A點的坐標,然后用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式;
(2)可分別求出當點P、點Q在直線AB上時x的值,即可得到所求的x的取值范圍;
(3)此題首先要計算出一個關鍵點:即直線AB過E、F時x的值(由于直線AB與直線OP垂直,所以直線AB同時經(jīng)過E、F),此時點E的坐標為(x,),代入直線AB的解析式即可得到x=;
①當2≤x<時,直線AB與PE、PF相交,設交點為C、D;那么重合部分的面積為正方形QEPF和等腰Rt△PDC的面積差,由此可得到關于S、x的函數(shù)關系式,進而可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求出S的最大值及對應的x的值;
②當≤x≤4時,直線AB與QE、QF相交,設交點為M、N;此時重合部分的面積為等腰Rt△QMN的面積,可參照①的方法求出此時S的最大值及對應的x的值;
綜合上述兩種情況,即可比較得出S的最大值及對應的x的值.
解答:解:(1)令y=0,
得-x2+x+4=0,即x2-2x-8=0;
解得x=-2,x=4;
所以A(4,0);
令x=0,得y=4,
所以B(0,4);
設直線AB的解析式為y=kx+b,
則有:,
解得,故此直線的解析式為:y=-x+4;

(2)當P(x,y)在直線AB上時,x=-x+4,解得x=2;
當Q(,)在直線AB上時,=-+4,解得x=4;
所以正方形PEQF與直線AB有公共點,且2≤x≤4;

(3)當點E(x,)在直線AB上時,
(此時點F也在直線AB上)=-x+4,解得x=
①當2≤x<時,直線AB分別與PE、PF有交點,
設交點分別為C、D;
此時PC=x-(-x+4)=2x-4,又PD=PC,
所以S△PCD=PC2=2(x-2)2;
S=S正方形PEQF-S△PCD=QE2-S△PCD=(x-2-S△PCD
從而S=x2-2(x-2)2=-x2+8x-8=-(x-2+
因為2≤,
所以當x=時,Smax=;
②當≤x≤4時,直線AB分別與QE、QF有交點,設交點分別為M、N;
此時QN=(-+4)-=-x+4,又QM=QN,
所以S△QMN=QN2=(x-4)2,
即S=(x-4)2;
當x=時,Smax=;
綜合①②得:當x=時,Smax=
點評:此題考查了函數(shù)圖象與坐標軸交點坐標的求法、一次函數(shù)解析式的確定、正方形的性質(zhì)、圖形面積的求法以及二次函數(shù)的應用等知識,綜合性強,難度較大.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(4,0)兩點,與y軸交于點精英家教網(wǎng)C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)求直線BC的函數(shù)解析式;
(3)在拋物線上,是否存在一點P,使△PAB的面積等于△ABC的面積,若存在,求出點P的坐標,若不存在,請說明理由.
(4)點Q是直線BC上的一個動點,若△QOB為等腰三角形,請寫出此時點Q的坐標.(可直接寫出結果)

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=1,且拋物線經(jīng)過A(-1,0)精英家教網(wǎng)、C(0,-3)兩點,與x軸交于另一點B.
(1)求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式;
(2)在拋物線的對稱軸x=1上求一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,并求出此時點M的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•衡陽)如圖,已知拋物線經(jīng)過A(1,0),B(0,3)兩點,對稱軸是x=-1.
(1)求拋物線對應的函數(shù)關系式;
(2)動點Q從點O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運動,同時動點M從O點出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運動,過點Q作x軸的垂線交線段AB于點N,交拋物線于點P,設運動的時間為t秒.
①當t為何值時,四邊形OMPQ為矩形;
②△AON能否為等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=1,且拋物線經(jīng)過A(-1,0)、C(0,-3)兩點,與x軸交于另一點B.
(1)求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式;
(2)點P是拋物線對稱軸上一點,若△PAB∽△OBC,求點P的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點是(-1,-4),且與x軸交于A、B(1,0)兩點,交y軸于點C;
(1)求此拋物線的解析式;
(2)①當x的取值范圍滿足條件
-2<x<0
-2<x<0
時,y<-3;
     ②若D(m,y1),E(2,y2)是拋物線上兩點,且y1>y2,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)直線x=t平行于y軸,分別交線段AC于點M、交拋物線于點N,求線段MN的長度的最大值;
(4)若以拋物線上的點P為圓心作圓與x軸相切時,正好也與y軸相切,求點P的坐標.

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