Question

【題目】如圖，經(jīng)過點(diǎn)A（0，6）的拋物線y= x2+bx+c與x軸相交于B（﹣2，0）、C兩點(diǎn)．

（1）求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求直線AC所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（3）將（1）中求得的拋物線向左平移1個(gè)單位長度，再向上平移m（m＞0）個(gè)單位長度得到新拋物線y1 ， 若新拋物線y1的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，求m的取值范圍；
（4）在（3）的結(jié)論下，新拋物線y1上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形，請分析所有可能出現(xiàn)的情況，并直接寫出相對應(yīng)的m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（0，﹣6）、B（﹣2，0）代入y= x2+bx+c得 ，解得 ，

所以拋物線解析式為y= x2﹣2x﹣6；

因?yàn)閥= （x﹣2）2﹣8，

所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣8）；

（2）

解：當(dāng)y=0時(shí)， x2﹣2x﹣6=0，解得x1=﹣2，x2=6，則C（6，0），

設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，

把A（0，﹣6），C（6，0）代入得 ，解得 ，

所以直線AC的解析式為y=x﹣6；

（3）

解：拋物線y= （x﹣2）2﹣8向左平移1個(gè)單位長度，再向上平移m（m＞0）個(gè)單位長度得到新拋物線y1的解析式為y= （x﹣1）2﹣8+m，

當(dāng)x=1時(shí)，y=x﹣6=﹣5，

∵新拋物線y1的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，

∴﹣5＜﹣8+m＜0，

∴3＜m＜8；

（4）

解：作AB的垂直平分線交x軸于E，交AB與F，如圖，

AB= =2 ，則BF= ，

∵∠BEF=∠BAO，

∴Rt△BEF∽Rt△BAO，

∴ = ，即 = ，解得BE=10，

∴E（8，0），

而F（﹣1，﹣3），

設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，

把E（8，0），F(xiàn)（﹣1，﹣3）代入得 ，解得 ，

∴直線EF的解析式為y= x﹣ ，

把方程 （x﹣1）2﹣8+m= x﹣ ，整理得3x2﹣8x+6m﹣29=0，

△=（﹣8）2﹣4×3×（6m﹣29）=﹣72m+412，

當(dāng)△=0，即﹣72m+412=0，解得m= 時(shí)，拋物線y1與直線EF只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)拋物線y1上存在一個(gè)點(diǎn)Q，使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形；

當(dāng)△＞0，即﹣72m+412＞0，解得m＜ ，則m的范圍為3＜m＜ ，拋物線y1與直線EF有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)拋物線y1上存在兩個(gè)點(diǎn)Q，使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形；

當(dāng)△＜0，即﹣72m+412＜0，解得m＞ 時(shí)，則m的范圍為 ＜m＜8，拋物拋物線y1與直線EF沒有公共點(diǎn)，此時(shí)拋物線y1上不存在一個(gè)點(diǎn)Q，使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形．

【解析】（1）把A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)代入y= x2+bx+c得關(guān)于b、c的方程組，然后解方程求出b、c即可得到拋物線解析式，然后把一般式配成頂點(diǎn)式可得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）先解方程 x2﹣2x﹣6=0得C（6，0），然后利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式；（3）利用拋物線的平移規(guī)律得到新拋物線y1的解析式為y= （x﹣1）2﹣8+m，再計(jì)算出新拋物線的對稱軸與直線AC的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到﹣5＜﹣8+m＜0，然后解不等式得到m的范圍；（4）作AB的垂直平分線交x軸于E，交AB與F，如圖，證明Rt△BEF∽Rt△BAO，利用相似比計(jì)算出BE=10，則E（8，0），則利用待定系數(shù)法可確定直線EF的解析式為y= x﹣ ，然后通過判斷方程 （x﹣1）2﹣8+m= x﹣ 的根的情況確定拋物線y1與直線EF的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而可判斷新拋物線y1上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形，再寫出對應(yīng)的m的范圍．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�