Question

設有關于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（Ⅰ）若a是從0，1，2三個數中任取一個數，b是從0，1兩個數中任取的一個數，求上述方程有實根的概率．
（Ⅱ）若在如圖所示的矩形內任取一點P，設P的橫坐標為a，縱坐標為b，求上述方程有實根的概率．

Answer 1

分析：（1）先根據一元二次方程根的判別式的意義得到△=4a²-4b²=4（a²-b²），當a≥b時，方程有解，再畫樹狀圖展示6種等可能的結果，其中只有a=0，b=1使△＜0，即使△≥0有5種情況，最后根據概率的概念求解即可；
（2）如圖，OD平分∠AOC，當點P落在四邊形OABD內時，a≥b，則原方程有實數根，分別計算出矩形OABC和四邊形OABD的面積，然后利用
它們的面積比表示點落再在四邊形OABD內的概率，即方程有實根的概率．

解答：解：（1）△=4a²-4b²=4（a²-b²），
畫樹狀圖，
共有6種等可能的結果，其中只有a=0，b=1使△＜0，即使△≥0有5種情況，
所以方程有實根的概率=

5

6

；
（2）如圖，OD平分∠AOC，
當點P落在四邊形OABD內時，a≥b，則原方程有實數根，
而S_△OCD=

1

2

×1×1=

1

2

，S_矩形OABC=2，
所以方程有實根的概率=

2- 1 2

2

=

3

4

．

點評：本題考查了列表法或樹狀圖法求概率的方法：先通過列表或畫樹狀圖展示所有等可能的結果數，再找出某事件所占有的可能數，然后根據概率的概念求出這個事件的概率．也考查了一元二次方程根的判別式的意義以及利用面積法求概率．