Question

【題目】求證：對(duì)角線互相垂直圓內(nèi)接四邊形，自對(duì)角線的交點(diǎn)向一邊作垂線，其延長(zhǎng)線必平分對(duì)邊．

要求：（1）在給出的圓內(nèi)接四邊形作出PE⊥BC于點(diǎn)E，并延長(zhǎng)EP與AD交于點(diǎn)F，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡

（2）利用（1）中所作的圖形寫(xiě)出已知、求證和證明過(guò)程．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）DF=FP=AF，點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，過(guò)程見(jiàn)解析

【解析】

（1）過(guò)P作BC的垂線即可得到答案；（2）根據(jù)題意寫(xiě)好已知，求證，利用圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)證明

解：（1）補(bǔ)全的圖形如圖所示；

（2）已知：四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AC⊥BD，PE⊥BC．延長(zhǎng)EP交AD于點(diǎn)F．

求證：點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)

證明：∵AC⊥BD，PE⊥BC

∴∠CPD=∠CEF=∠APD=90°

∵EF是線段

∴∠CPE+∠CPD+∠DPF=180°，即∠CPE+∠DPF=90°

∵在Rt△CEP中，∠CPE+∠ECP=90°

∴∠ECP=∠DPF

∵∠ACB與∠ADB為同弧所對(duì)的圓周角

∴∠ACB=∠ADB，即∠ECP=∠PDF

∴∠DPF=∠PDF

∴△DPF為等腰三角形，DF=FP

∵∠APF=∠APD -∠DPF=90°-∠DPF，∠PAF=90°-∠PDF

∴∠APF=∠PAF

∴△APF為等腰三角形，PF=AF

即DF=FP=AF，點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)．