Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx+4的圖象過A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，作直線BC，動點P從點C出發(fā)，以每秒 個單位長度的速度沿CB向點B運動，運動時間為t秒，當(dāng)點P與點B重合時停止運動．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖2，當(dāng)t=1時，求S△ACP的面積；
（3）如圖3，過點P向x軸作垂線分別交x軸，拋物線于E、F兩點．
①求PF的長度關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并求出PF的長度的最大值；
②連接CF，將△PCF沿CF折疊得到△P′CF，當(dāng)t為何值時，四邊形PFP′C是菱形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+4的圖象過A（﹣1，0），B（4，0）兩點，

∴ ，解得： ．

∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+3x+4．

（2）

解：令x=0，則y=4，

即點C的坐標(biāo)為（0，4），

∴BC= =4 ．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+4，

∵點B的坐標(biāo)為（4，0），

∴0=4k+4，解得k=﹣1，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+4．

當(dāng)t=1時，CP= ，

點A（﹣1，0）到直線BC的距離h= = = ，

S△ACP= CPh= × × = ．

（3）

解：①∵直線BC的解析式為y=﹣x+4，

∴CP= t，OE=t，設(shè)P（t，﹣t+4），F(xiàn)（t，﹣t2+3t+4），（0≤t≤4）

PF=﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t，（0≤t≤4）．

當(dāng)t=﹣ =2時，PF取最大值，最大值為4．

②∵△PCF沿CF折疊得到△P′CF，

∴PC=P′C，PF=P′F，

當(dāng)四邊形PFP′C是菱形時，只需PC=PF．

∴ t=﹣t2+4t，

解得：t1=0（舍去），t2=4﹣ ．

故當(dāng)t=4﹣ 時，四邊形PFP′C是菱形．

【解析】（1）將A、B點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中，即可得到關(guān)于a、b的二元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；（2）令x=0可得出C點的坐標(biāo)，設(shè)出直線BC解析式y(tǒng)=kx+4，代入B點坐標(biāo)可求出k值，利用面積法求出點A到直線BC的距離結(jié)合三角形的面積，即可得出結(jié)論；（3）①由直線BC的解析式為y=﹣x+4可得知OE= CP，設(shè)出P、F點的坐標(biāo)，由F點的縱坐標(biāo)﹣P點的縱坐標(biāo)即可得出PF的長度關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值問題；②由翻轉(zhuǎn)特性可知PC=P′C，PF=P′F，若四邊形PFP′C是菱形，則有PC=PF，由此得出關(guān)于t的二元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．