Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+2x+c與y軸交于點A（0，6），與x軸交于點B（6，0），點P是線段AB上方拋物線上的一個動點．

（1）求這條拋物線的表達式及其頂點坐標；
（2）當點P移動到拋物線的什么位置時，使得∠PAB=75°，求出此時點P的坐標；
（3）當點P從A點出發(fā)沿線段AB上方的拋物線向終點B移動，在移動中，點P的橫坐標以每秒1個單位長度的速度變動，與此同時點M以每秒1個單位長度的速度沿AO向終點O移動，點P，M移動到各自終點時停止，當兩個移點移動t秒時，求四邊形PAMB的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達式，并求t為何值時，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據(jù)題意，把A（0，6），B（6，0）代入拋物線解析式可得 ，解得 ，

∴拋物線的表達式為y=﹣ x2+2x+6，

∵y=﹣ x2+2x+6=﹣ （x﹣2）2+8，

∴拋物線的頂點坐標為（2，8）

（2）

解：如圖1，過P作PC⊥y軸于點C，

∵OA=OB=6，

∴∠OAB=45°，

∴當∠PAB=75°時，∠PAC=60°，

∴tan∠PAC= ，即 = ，

設(shè)AC=m，則PC= m，

∴P（ m，6+m），

把P點坐標代入拋物線表達式可得6+m=﹣ （ m）2+2 m+6，解得m=0或m= ﹣ ，

經(jīng)檢驗，P（0，6）與點A重合，不合題意，舍去，

∴所求的P點坐標為（4﹣ ， + ）

（3）

解：當兩個支點移動t秒時，則P（t，﹣ t2+2t+6），M（0，6﹣t），

如圖2，作PE⊥x軸于點E，交AB于點F，則EF=EB=6﹣t，

∴F（t，6﹣t），

∴FP= t2+2t+6﹣（6﹣t）=﹣ t2+3t，

∵點A到PE的距離竽OE，點B到PE的距離等于BE，

∴S△PAB= FPOE+ FPBE= FP（OE+BE）= FPOB= ×（﹣ t2+3t）×6=﹣ t2+9t，且S△AMB= AMOB= ×t×6=3t，

∴S=S四邊形PAMB=S△PAB+S△AMB=﹣ t2+12t=﹣ （t﹣4）2+24，

∴當t=4時，S有最大值，最大值為24

【解析】（1）由A、B坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的表達式，化為頂點式可求得頂點坐標；（2）過P作PC⊥y軸于點C，由條件可求得∠PAC=60°，可設(shè)AC=m，在Rt△PAC中，可表示出PC的長，從而可用m表示出P點坐標，代入拋物線解析式可求得m的值，即可求得P點坐標；（3）用t可表示出P、M的坐標，過P作PE⊥x軸于點E，交AB于點F，則可表示出F的坐標，從而可用t表示出PF的長，從而可表示出△PAB的面積，利用S四邊形PAMB=S△PAB+S△AMB ， 可得到S關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．