【題目】如圖1,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,點(diǎn)E是邊CD上的點(diǎn),且CE=4,過(guò)點(diǎn)E作CD的垂線,并在垂線上截取EF=3,連接CF.將△CEF繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為a.
(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
當(dāng)a=0°時(shí),AF= ,BE= ,= ;
(2)拓展探究
試判斷:當(dāng)0°≤a°<360°時(shí),的大小有無(wú)變化?請(qǐng)僅就圖2的情況給出證明.
(3)問(wèn)題解決
當(dāng)△CEF旋轉(zhuǎn)至A,E,F三點(diǎn)共線時(shí),直接寫(xiě)出線段BE的長(zhǎng).
【答案】(1),,;(2)無(wú)變化,理由見(jiàn)解析;(3)BE的值為或
【解析】
(1)如圖(見(jiàn)解析),先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)得出DG=EF=3,AG=11,再利用勾股定理求出即可得;
(2)如圖(見(jiàn)解析),先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出,∠ECF=∠ACB,從而可得,∠ACF=∠BCE,再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得;
(3)分兩種情況:E在A、F之間和點(diǎn)F在A、E之間,分別利用勾股定理求出AE的長(zhǎng),再利用線段的和差求出AF的長(zhǎng),然后結(jié)合(2)的結(jié)論即可求出BE的長(zhǎng).
(1)當(dāng)a=0°時(shí),如圖,過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于G
∵四邊形ABCD是矩形
∴∠ADC=∠BCE=90°,AD=BC=8,AB=CD=6
由∠G=∠EDG=∠DEF=90°,知四邊形DEFG是矩形
∴DG=EF=3,AG=11
∵CE=4,CD=6
∴FG=DE=2
在Rt△AGF中,由勾股定理得:AF=
同理可得:BE=
∴=;
(2)的大小無(wú)變化,理由如下:
如圖,連接AC
∵AB=6,BC=8,EF=3,CE=4
∴,
∴=
∵∠CEF=∠ABC=90°
∴△CEF∽△CBA
∴,∠ECF=∠ACB
∴,∠ACF=∠BCE
∴△ACF∽△BCE
∴,即的大小無(wú)變化;
(3)當(dāng)△CEF旋轉(zhuǎn)至A,E,F三點(diǎn)共線時(shí),存在兩種情況:
①如圖,點(diǎn)E在A、F之間,連接AC
Rt△ABC中,由勾股定理得:AC=10
同理可得:CF=5
由(2)知:
Rt△AEC中,由勾股定理得:AE=
∴AF=AE+EF=
∴BE=AF==;
②如圖,點(diǎn)F在A、E之間時(shí),連接AC
同理可得:AF=AE﹣EF=
∴BE=AF==;
綜上所述,BE的值為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,為的直徑,,為的切線,直線交延長(zhǎng)線于,.
(1)求證:是的切線;
(2)若,,求陰影部分的周長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將一張矩形紙片沿著對(duì)角線向上折疊,頂點(diǎn)落到點(diǎn)處,交于點(diǎn)
(1)求證:是等腰三角形;
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)作,交于點(diǎn),連接交于點(diǎn)
①判斷四邊形的形狀,并說(shuō)明理由;
②若,,求的長(zhǎng)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為進(jìn)一步提升學(xué)生體質(zhì)健康水平,我市某校計(jì)劃用400元購(gòu)買10個(gè)體育用品,備選體育用品及單價(jià)如表:
備用體育用品 | 足球 | 籃球 | 排球 |
單價(jià)(元) | 50 | 40 | 25 |
(1)若400元全部用來(lái)購(gòu)買足球和排球共10個(gè),則足球和排球各買多少個(gè);
(2)若學(xué)校先用一部分資金購(gòu)買了a個(gè)排球,再用剩下的資金購(gòu)買了相同數(shù)量的足球和籃球,此時(shí)正好剩余30元,求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解九年級(jí)的600名學(xué)生每天的自主學(xué)習(xí)情況,隨機(jī)抽查了九年級(jí)的部分學(xué)生,并調(diào)查他們每天自主學(xué)習(xí)的時(shí)間.根據(jù)調(diào)查結(jié)果,制作了兩副不完整的統(tǒng)計(jì)圖(圖1圖2),請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息回答下列問(wèn)題:
(1)本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是 人;
(2)圖2中角是 度;
(3)將圖1條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(4)估算該校九年級(jí)學(xué)生自主學(xué)習(xí)不少于1.5小時(shí)有多少人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩人準(zhǔn)備整理一批新到的實(shí)驗(yàn)器材,若甲單獨(dú)整理需要40分鐘完工,若甲、乙共同整理20分鐘后,乙需再單獨(dú)整理20分鐘才能完工.
⑴問(wèn)乙單獨(dú)整理多少分鐘完工?
⑵若乙因工作需要,他的整理時(shí)間不超過(guò)30分鐘,則甲至少整理多少分鐘才能完工?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=2x和y=-x的圖像分別為直線l1、l2,過(guò)點(diǎn)(1,0)作x軸的垂線交l2于點(diǎn)A1,過(guò)點(diǎn)A1作y軸的垂線交l2于點(diǎn)A2,過(guò)點(diǎn)A2作x軸的垂線交l1于點(diǎn)A3,過(guò)點(diǎn)A3作y軸的垂線交l2于點(diǎn)A4,…,依次進(jìn)行下去,則點(diǎn)A2020的坐標(biāo)為_______________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)為拋物線在第二象限內(nèi)一點(diǎn),并且在對(duì)稱軸的左邊,過(guò)點(diǎn)作軸的垂線,垂足為點(diǎn),與直線交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線,垂足為點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
①當(dāng)矩形的周長(zhǎng)最大時(shí),求的面積;
②在①的條件下,當(dāng)矩形的周長(zhǎng)最大時(shí),是直線上一點(diǎn),是拋物線上一點(diǎn),是否存在點(diǎn),使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】崇州(古稱蜀州),老子思想創(chuàng)立發(fā)揚(yáng)地,崇州市歷史悠久,漢代稱蜀川,唐代稱蜀州,其建制歷史長(zhǎng)達(dá)4300年,公元316年設(shè)立縣制,1994年撤縣設(shè)市.崇州市全市幅員面積1090平方公里,呈“四山一水五分田”格局,是距離成都天府廣場(chǎng)最近的郊區(qū)區(qū)域,是四川省首批命名的歷史悠久名城,轄6個(gè)街道辦事處,9個(gè)鎮(zhèn),戶籍人口66.48萬(wàn)(其中城鎮(zhèn)人口31.6萬(wàn)),常住人口75萬(wàn),用科學(xué)記數(shù)法表示75萬(wàn)為( )
A.7.5×104B.75×104C.0.75×106D.7.5×105
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