如圖,已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸負半軸交于點A,與y軸正半軸交于點B,且OA=OB.

1.求b+c的值

2.若點C在拋物線上,且四邊形OABC是平行四邊形,試求拋物線的解析式;

3.在(2)的條件下,作∠OBC的角平分線,與拋物線交于點P,求點P的坐標.

 

【答案】

 

1.因為拋物線y=-x2+bx+c與y軸正半軸交于點B,所以點B的坐標為(0,c).…… 1分

因為OA=OB,所以點A的坐標為(-c,0).…… 2分

將點A(-c,0)代入y=-x2+bx+c,得-c2+bc+c=0.

因為c≠0,整理,得b+c=1.…… 4分

2.如果四邊形OABC是平行四邊形,那么BC//AO,BC=AO.

因此點C的坐標可以表示為(c,c).…… 5分

當點C(c,c)落在拋物線y=-x2+bx+c上時,得-c2+bc+c=c.

整理,得b=c.…… 6分

結(jié)合第(1)題的結(jié)論b+c=1,得.…… 7分

此時拋物線的解析式為.…… 8分

3.過點P作PM⊥y軸,垂足為M.

因為BP平分∠CBO,所以△BPM是等腰直角三角形.9分

設點P的坐標為

由BM=PM,列方程.…… 10分

解得(舍去).…… 11分

所以,點P的坐標為.…… 12分

【解析】(1)因為拋物線y=-x2+bx+c與y軸正半軸交于點B,所以點B的坐標為(0,c).點A的坐標為(-c,0).代入y=-x2+bx+c,求得b+c的值

(2)根據(jù)四邊形OABC是平行四邊形,得出點C的坐標可以表示為(c,c)進行解答

(3)過點P作PM⊥y軸,垂足為M.證得△BPM是等腰直角三角形

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知拋物線y=x-ax+a-4a-4與x軸相交于點A和點B,與y軸相交于點D(0,8),直線DC平行于x軸,交拋物線于另一點C,動點P以每秒2個單位長度的速度從C點出發(fā),沿C→D運動,同時,點Q以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā),沿A→B運動,連接PQ、CB,設點P運動的時間為t秒.

(1)求a的值;

(2)當四邊形ODPQ為矩形時,求這個矩形的面積;

(3)當四邊形PQBC的面積等于14時,求t的值.

(4)當t為何值時,△PBQ是等腰三角形?

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(9分)如圖,已知拋物線yx2+bx-3a過點A(1,0),B(0,-3),與x軸交于另一點C.

(1)求拋物線的解析式;
(2)若在第三象限的拋物線上存在點P,使△PBC為以點B為直角頂點的直角三角形,
求點P的坐標;
(3)在(2)的條件下,在拋物線上是否存在一點Q,使以P,Q,B,C為頂點的四邊形
為直角梯形?若存在,請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:2011年江蘇省蘇州市中考模擬數(shù)學卷 題型:解答題

(本題9分)如圖,已知拋物線yax2bx+3的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,且點C、D是拋物線上的一對對稱點.

【小題1】(1)求拋物線的解析式;
【小題2】(2)求點D的坐標,并在圖中畫出直線BD;
【小題3】(3)求出直線BD的一次函數(shù)解析式,并根據(jù)圖象回答:當x滿足什么條件時,上述二次函數(shù)的值大于該一次函數(shù)的值.

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科目:初中數(shù)學 來源:2011-2012學年蘇州工業(yè)園區(qū)九年級下學期學科調(diào)研數(shù)學卷 題型:解答題

(9分)如圖,已知拋物線yx2+bx-3a過點A(1,0),B(0,-3),與x軸交于另一點C.

(1)求拋物線的解析式;
(2)若在第三象限的拋物線上存在點P,使△PBC為以點B為直角頂點的直角三角形,
求點P的坐標;
(3)在(2)的條件下,在拋物線上是否存在一點Q,使以P,Q,B,C為頂點的四邊形
為直角梯形?若存在,請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:2011-2012學年陜西省興平市九年級上學期期末練習數(shù)學卷 題型:解答題

(本題滿分10分)

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=1,且拋物線經(jīng)過A(—1,0)、C(0,—3)兩點,與x軸交于另一點B.

1.(1)求這條拋物線所對應的函數(shù)關(guān)系式;

2.(2)在拋物線的對稱軸x=1上求一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,并求出此時點M的坐標;

3.(3)設點P為拋物線的對稱軸x=1上的一動點,求使∠PCB=90°的點P的坐標.

 

 

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