Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸、軸于點(diǎn)，點(diǎn)，且、滿足.

（1）求，的值;

（2）以為邊作，點(diǎn)在直線的右側(cè)且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若（2）的點(diǎn)在第四象限（如圖2），與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn).

①求證;

②直接寫出點(diǎn)到的距離.

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）①見(jiàn)解析，②

【解析】

（1）將等式變形后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到a,b的值；

（2）由題意分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，利用AAS證，從而求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；當(dāng)時(shí)，同理可得解；

（3）①過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，依次證得，，即可得證；

②過(guò)點(diǎn)C分別作x軸、DL的垂線，交于點(diǎn)K、H，通過(guò)證明△EDC≌△FDC得到∠DEC =∠LEC，再利用角平分線的性質(zhì)定理得到CH=CL=1.

.解：（1）

，

，，

，，

，；

（2）由（1）知，，

，

，，

是直角三角形，且，

只有或，

Ⅰ、當(dāng)時(shí)，如圖，

，

，

過(guò)點(diǎn)作于，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

Ⅱ、當(dāng)時(shí)，如圖

同Ⅰ的方法得，；

即：滿足條件的點(diǎn)或

（3）①如圖，由（2）知點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則

在和中，

，

，

，

，

，

，

在和中，

，

，

；

②CH=，

如圖，過(guò)點(diǎn)C分別作x軸、y軸、DE的垂線，交于點(diǎn)K、L、H，

由①可知，CL=CK=1，
∠ECL+∠DCK=∠LCK-∠ECD=90°-45°=45°，
∠FCK+∠KCD=∠ECF-∠ECD=90°-45°=45°，
∴∠ECL=∠FCK，又∠FKC=∠ELC=90°，
∴△ELC≌△FKC（AAS），
∴∠LEC=∠KFC，EC=FC，
∠FCD=∠FCK+∠KCD=∠ECL+∠KCD=45°=∠ECD，
又CD=CD，
∴△EDC≌△FDC（SAS），
∴∠DEC=∠DFC，
∴∠DEC =∠LEC．

又

∴CH=CL=1