Question

【題目】如圖，正方形紙片ABCD中，對角線AC、BD交于點O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合，展開后折痕DE分別交AB、AC于點E、G，連結GF，給出下列結論：
①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S△OGF=1，則正方形ABCD的面積是6+4
其中正確有 ．

Answer 1

【答案】①④⑤
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠GAD=∠ADO=45°，
由折疊的性質可得：∠ADG= ∠ADO=22.5°，故①正確．
∵由折疊的性質可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，
∴AE=EF＜BE，
∴AE＜ AB，
∴ ＞2，
在Rt△ADE中，tan∠AED= ＞2，故②錯誤．
∵∠AOB=90°，
∴AG=FG＞OG，△AGD與△OGD同高，
∴S△AGD＞S△OGD ， 故③錯誤．
∵∠EFD=∠AOF=90°，
∴EF∥AC，
∴∠FEG=∠AGE，
∵∠AGE=∠FGE，
∴∠FEG=∠FGE，
∴EF=GF，
∵AE=EF，
∴AE=GF，
∵AE=EF=GF，AG=GF，
∴AE=EF=GF=AG，
∴四邊形AEFG是菱形，故④正確．
∴∠OGF=∠OAB=45°，
∴EF=GF= OG，
∴BE= EF= × OG=2OG．故⑤正確．
∵四邊形AEFG是菱形，
∴AB∥GF，AB=GF．
∵∠BAO=45°，∠GOF=90°，
∴△OGF時等腰直角三角形．
∵S△OGF=1，
∴ OG2=1，解得OG= ，
∴BE=2OG=2 ，GF= ═2，
∴AE=GF=2，
∴AB=BE+AE=2 +2，
∴S正方形ABCD=AB2=（2 +2）2=12+8 ，故⑥錯誤．
∴其中正確結論的序號是：①④⑤共三個．
所以答案是①④⑤．
【考點精析】利用平行線的性質和等腰三角形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．