【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,點D在AC上,將△ABD繞點B順時針旋轉90°后得到△CBE.
(1)求∠DCE的度數(shù);
(2)當AC=4,AD:DC=1:3時,求DE的長.
【答案】(1)90°;(2).
【解析】
(1)首先由等腰直角三角形的性質求得∠BAD、∠BCD的度數(shù),然后由旋轉的性質可求得∠BCE的度數(shù),故此可求得∠DCE的度數(shù);
(2)由(1)可知△DCE是直角三角形,先由勾股定理求得AC的長,然后依據比例關系可得到CE和DC的長,最后依據勾股定理求解即可.
(1)∵∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠A=∠ACB=45°,
∵△CBE是由△ABD旋轉得到,
∴∠A=∠BCE=45°,
∴∠DCE=∠ABC+∠BCE=90°;
(2)∵AD:DC=1:3,
設AD=x,CD=3x,
∴x+3x=4,
解得:x=1,
∴AD=CE=1,DC=3,
由勾股定理得:.
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【題目】若二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點和頂點構成等邊三角形,則稱這樣的二次函數(shù)的圖象為標準拋物線.如圖,自左至右的一組二次函數(shù)的圖象T1,T2,T3……是標準拋物線,且頂點都在直線y=x上,T1與x軸交于點A1(2,0),A2(A2在A1右側),T2與x軸交于點A2,A3,T3與x軸交于點A3,A4,……,則拋物線Tn的函數(shù)表達式為_____.
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【題目】綜合與實踐﹣四邊形旋轉中的數(shù)學
“智慧”數(shù)學小組在課外數(shù)學活動中研究了一個問題,請幫他們解答.
任務一:如圖1,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,E,F(xiàn)分別為AB,AD邊的中點,四邊形AEGF為矩形,連接CG.
(1)請直接寫出CG的長是______.
(2)如圖2,當矩形AEGF繞點A旋轉(比如順時針旋轉)至點G落在邊AB上時,請計算DF與CG的長,通過計算,試猜想DF與CG之間的數(shù)量關系.
(3)當矩形AEGF繞點A旋轉至如圖3的位置時,(2)中DF與CG之間的數(shù)量關系是否還成立?請說明理由.
任務二:“智慧”數(shù)學小組對圖形的旋轉進行了拓展研究,如圖4,在ABCD中,∠B=60°,AB=6,AD=8,E,F(xiàn)分別為AB,AD邊的中點,四邊形AEGF為平行四邊形,連接CG.“智慧”數(shù)學小組發(fā)現(xiàn)DF與CG仍然存在著特定的數(shù)量關系.
(4)如圖5,當AEGF繞點A旋轉(比如順時針旋轉),其他條件不變時,“智慧”數(shù)學小組發(fā)現(xiàn)DF與CG仍然存在著這一特定的數(shù)量關系.請你直接寫出這個特定的數(shù)量關系.
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【題目】如圖,拋物線交x軸于點A,B,交y軸于點C,當紙片上的C沿著此拋物線運動時,則紙片隨之也跟著水平移動,設紙片上CB的中點M坐標為,在此運動過程中,n與m的關系式是( )
A.B.C.D.
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【題目】某新型高科技商品,每件的售價比進價多6元,5件的進價相當于4件的售價,每天可售出200件,經市場調查發(fā)現(xiàn),如果每件商品漲價1元,每天就會少賣5件.
(1)該商品的售價和進價分別是多少元?
(2)設每天的銷售利潤為w元,每件商品漲價x元,則當售價為多少元時,該商品每天的銷售利潤最大,最大利潤為多少元?
(3)為增加銷售利潤,營銷部推出了以下兩種銷售方案:方案一:每件商品漲價不超過8元;方案二:每件商品的利潤至少為24元,請比較哪種方案的銷售利潤更高,并說明理由.
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【題目】已知a、b、c為正數(shù),若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個實數(shù)根,則關于x的方程a2x2+b2x+c2=0解的情況為( )
A.有兩個不相等的正根B.有一個正根,一個負根
C.有兩個不相等的負根D.不一定有實數(shù)根
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【題目】如圖①拋物線y=﹣x2+(m﹣1)x+m與直線y=kx+k交于點A、B,其中A點在x軸上,它們與y軸交點分別為C和D,P為拋物線的頂點,且點P縱坐標為4,拋物線的對稱軸交直線于點Q.
(1)試用含k的代數(shù)式表示點Q、點B的坐標.
(2)連接PC,若四邊形CDQP的內部(包括邊界和頂點)只有4個橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點,求k的取值范圍.
(3)如圖②,四邊形CDQP為平行四邊形時,
①求k的值;
②E、F為線段DB上的點(含端點),橫坐標分別為a,a+n(n為正整數(shù)),EG∥y軸交拋物線于點G.問是否存在正整數(shù)n,使?jié)M足tan∠EGF的點E有兩個?若存在,求出n;若不存在說明理由.
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【題目】對垃圾進行分類投放,能提高垃圾處理和再利用的效率,減少污染,保護環(huán)境.為了檢查垃圾分類的落實情況,某居委會成立了甲、乙兩個檢查組,采取隨機抽查的方式分別對轄區(qū)內的,,,四個小區(qū)進行檢査,并且每個小區(qū)不重復檢查.
(1)甲組抽到小區(qū)的概率是___________;
(2)請用列表或畫樹狀圖的方法求甲組抽到小區(qū),同時乙組抽到小區(qū)的概率.
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【題目】如圖,一小球沿與地面成一定角度的方向飛出,小球的飛行路線是一條拋物線,如果不考慮空氣阻力,小球的飛行高度h(單位:米)與飛行時間t(單位:秒)之間具有函數(shù)關系,請根據要求解答下列問題:
(1)在飛行過程中,當小球的飛行高度為15米時,需要多少飛行時間?
(2)在飛行過程中,小球飛行高度何時達到最大?最大高度是多少?
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