【題目】定義:如果一個(gè)三角形一條邊上的高與這條邊的比值是,那么稱(chēng)這個(gè)三角形為“準(zhǔn)黃金”三角形,這條邊就叫做這個(gè)三角形的“金底”.
(1)如圖,在△ABC中,AC=8,BC=5,,試判斷△ABC是否是“準(zhǔn)黃金”三角形,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)如圖,△ABC是“準(zhǔn)黃金”三角形,BC是“金底”,把△ABC沿BC翻折得到△DBC,AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若點(diǎn)C恰好是△ABD的重心,求的值.
(3)如圖,,且直線與之間的距離為4,“準(zhǔn)黃金”△ABC的“金底”BC在直線上,點(diǎn)A在直線上,=,若∠ABC是鈍角,將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△,線段交于點(diǎn)D.當(dāng)點(diǎn)落在直線上時(shí),則的值為____.
【答案】(1)△ABC是“準(zhǔn)黃金”三角形;理由見(jiàn)解析;(2);(3)
【解析】
(1)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于D.解直角三角形求出AD即可得出結(jié)論.
(2) 根據(jù)A,D關(guān)于BC對(duì)稱(chēng),得到BE⊥AD,AE=ED,根據(jù)△ABC是“準(zhǔn)黃金”三角形,得到BC是“金底”,再利用C是△ABD的重心求解即可得到答案;
(3) 過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F,過(guò)點(diǎn)B′作B′G⊥BC于G.證明△CGB′∽△CFD,推出DF:CF:CD=GB′:CG:CB′=4:3:5,設(shè)DF=4k,CF=3k,CD=5k,再求出AD(用k表示)即可解決問(wèn)題.
解:(1)結(jié)論:△ABC是“準(zhǔn)黃金”三角形,BC是“金底”.
理由:過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于D.
∵AC=8,∠C=30°,
∴AD=4,
∴=
∴△ABC是“準(zhǔn)黃金”三角形,BC是“金底”;
(2)如圖,
∵A,D關(guān)于BC對(duì)稱(chēng),
∴BE⊥AD,AE=ED,
∵△ABC是“準(zhǔn)黃金”三角形,BC是“金底”,
∴=,不妨設(shè)AE=4k,BC=5k,
∵C是△ABD的重心,
∴BC:CE=2:1,
∴CE= ,BE= ,
∴AB=,
∴;
(3)如圖4中,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F,過(guò)點(diǎn)B′作B′G⊥BC于G.
在Rt△CB′G中,∵∠CGB′=90°,GB′=4,=CB=5,
∴ ,
又∵=,
∴ ,
∴ ,
∴EC=7,
∵∠GCB′=∠FCD=α,∠CGB′=∠CFD=90°,
∴△CGB′∽△CFD,
∴DF:CF:CD=GB′:CG:CB′=4:3:5,
設(shè)DF=4k,CF=3k,CD=5k,
∵△AEC∽△DFA,
,
解得: ,
∴AF=7k,
∴
.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)C、A、M、N在同一條直線l上.其中,是等腰直角三角形,,四邊形為正方形,且,將等腰沿直線l向右平移.若起始位置為點(diǎn)A與點(diǎn)M重合,終止位置為點(diǎn)C與點(diǎn)N重合.設(shè)點(diǎn)A平移的距離為x,兩個(gè)圖形重疊部分的面積為y,則y與x的函數(shù)圖象大致為( )
A.B.
C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,在△ABC 中,CD⊥AB 于點(diǎn) D,AD=CD=2,BD=4,點(diǎn) E 是線段BD 的中點(diǎn),點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā),沿折線 AC-CB 向終點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng),點(diǎn) P 在邊 AC 上的速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度,P在BC邊上的速度為個(gè)單位長(zhǎng)度,設(shè)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t(秒).
(1)用含 t 的代數(shù)式表示點(diǎn) P 到直線 AB 的距離.
(2)如圖②,作點(diǎn) P 關(guān)于直線 CD 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) Q,設(shè)以 D、E、Q、P 為頂點(diǎn)的四邊形的面積為 S(平方單位),求 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)當(dāng)點(diǎn) P 在邊 BC 上時(shí),在△BCD 的邊上(不包括頂點(diǎn))存在點(diǎn) H,使四邊形 DEPH為軸對(duì)稱(chēng)圖形,直接寫(xiě)出此時(shí)線段 CP 的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2)三點(diǎn),點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),過(guò)點(diǎn)P做x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q,交直線BD于點(diǎn)M.
(1)求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)已知點(diǎn)F(0,),當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),試求m為何值時(shí),四邊形DMQF是平行四邊形?
(3)點(diǎn)P在線段AB運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在5×3的網(wǎng)格圖中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,設(shè)經(jīng)過(guò)圖中格點(diǎn)A,C,B三點(diǎn)的圓弧與BD交于E,則圖中陰影部分的面積為____.(結(jié)果保留)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心,AB=4,AC=3,BC=2,將∠ACB平移使其頂點(diǎn)與I重合,則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣4,0),點(diǎn)B在y軸上,若反比例函數(shù)(k≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)C,則該反比例函數(shù)的表達(dá)式為( 。
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,對(duì)折矩形紙片ABCD,使AB與DC重合得到折痕EF,將紙片展平,再一次折疊,使點(diǎn)D落到EF上點(diǎn)G處,并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,已知BC=2,則線段EG的長(zhǎng)度為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)(用含的式子表示);
(2)求拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
(3)已知點(diǎn),,如果拋物線與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象,求的取值范圍.
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