Question

如圖，⊙O是△ABC是的外接圓，BC為⊙O直徑，作∠CAD=∠B，且點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上．
（1）求證：直線(xiàn)AD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若sin∠CAD=

2

4

，⊙O的直徑為8，求CD長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的判定,解直角三角形

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）連結(jié)OA，根據(jù)圓周角定理的推論得到∠BAC=90°，由∠CAD=∠B易得∠BAO=∠CAD，則∠CAD+∠CAO=90°，于是OA⊥AD，然后根據(jù)切線(xiàn)的判定方法即可得到直線(xiàn)AD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）在Rt△ABC中，由sinB=sin∠CAD=

2

4

，根據(jù)正弦的定義可計(jì)算出AC=2

2

，再根據(jù)勾股定理可計(jì)算出AB=2

14

，利用△DAC∽△DBA得

CD

AD

=

AC

AB

=

2 2

2 14

=

1

7

，即AD=

7

CD，然后在Rt△OAD中，根據(jù)勾股定理可得到關(guān)于CD的方程，然后解方程得CD的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連結(jié)OA，如圖，
∵BC為⊙O直徑，
∴∠BAC=90°，即∠BAO+∠CAO=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠BAO，
而∠CAD=∠B，
∴∠BAO=∠CAD，
∴∠CAD+∠CAO=90°，即∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∴直線(xiàn)AD是⊙O的切線(xiàn)；

（2）在Rt△ABC中，sinB=sin∠CAD=

2

4

，
而sinB=

AC

BC

，BC=8，
∴AC=2

2

，
∴AB=

BC2-AC2

=2

14

，
∵∠CAD=∠B，
∴△DAC∽△DBA，
∴

CD

AD

=

AC

AB

=

2 2

2 14

=

1

7

，即AD=

7

CD，
在Rt△OAD中，OA=OC=4，
∵OA²+AD²=OD²，
∴4²+（

7

CD）²=（4+CD）²，
∴CD=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定：過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．也考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理的推論．